Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 1x^2 raizx^2-1 d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral indefinida integral 1x^2raizx^2-1,dx. O conteúdo principal aqui é substituição trigonométrica porque aparece raizx^2-1. Vamos usar a substituição x = sec theta e identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica da seguinte forma:
x = sec theta, raizx^2 - 1 = tan theta, dx = sec theta tan theta,dtheta

Passo 3

Na integral original, substituindo x e dx e simplificando os fatores, achamos:
integral 1sec^2 thetacdot tan theta cdot (sec theta tan theta),dtheta = integral sec theta tan thetasec^2 theta tan theta,dtheta = integral 1sec theta,dtheta = integral cos theta,dtheta

Passo 4

Agora basta integrar em theta. Sabendo que a integral de cos é sin, temos:
integral cos theta,dtheta = sin theta + C

Passo 5

Por fim, voltamos para a variável x. De x = sec theta tiramos cos theta = 1/x e então:
sin theta = raiz1 - cos^2 theta = raiz1 - 1x^2 = raizx^2 - 1x
Isso permite expressar a primitiva de volta em x.

Resposta

raizx^2 - 1x + C

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