Calcule as integrais fazendo as seguintes substituições:
d) integral sen(raizx)raizx d x u=raizx
e) integral e^sen theta cos (theta) d theta u=sen(theta)

Passo 1

Neste exercício temos duas integrais para resolver usando integração por substituição: d) integral sin(raizx)raizx,dx com u=raizx, e e) integral e^sinthetacostheta,dtheta com u=sintheta. Vamos usar o método de substituição para simplificar cada uma.

Passo 2

Para a parte d), fazemos u=raizx. Daí, temos x=u^2 e então dx=2u,du. Substituindo em integral sin(raizx)raizx,dx, obtemos
integral sin(u)ucdot 2u,du = integral 2,sin(u),du
Agora, ainda na parte d), integramos em termos de u. Sabemos que integral sin(u),du = -cos(u), logo
integral 2,sin(u),du = -2,cos(u) + C
Revertendo para x, temos -2,cos(raizx) + C.

Passo 3

Para a parte e), fazemos u=sin(theta). Então du=cos(theta),dtheta. Substituindo em integral e^sinthetacostheta,dtheta, fica
integral e^u,du
Agora, para a parte e), integramos em termos de u. Como integral e^u,du = e^u + C, obtemos e^u + C. Voltando para theta, a solução é e^sintheta + C.

Resposta

d) -2cos(raizx) + C; e) e^sintheta + C

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