Calcule as integrais fazendo as seguintes substituições:
a) integral cos (3 x) d x u=3 x
b) integral x(4+x^2)^10 d x u=4+x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais indefinidas usando a técnica de substituição (u-substituição). Vamos precisar identificar uma nova variável u que simplifique a forma da integral, calcular du, reescrever a integral em termos de u, integrar e depois voltar para x.

Passo 2

Para a integral (a) integral cos(3x),dx com a escolha u=3x, derivamos
du = 3,dx
o que dá dx=tfracdu3. Substituindo, temos
integral cos(3x),dx = integral cos(u),du3 = 13integral cos(u),du = 13sin(u) + C
Voltando a variável original, a primitiva é tfrac13sin(3x)+C.

Passo 3

Para a integral (b) integral x(4+x^2)^10,dx com u=4+x^2, derivamos
du = 2x,dx
o que implica x,dx=tfracdu2. Substituindo, fica
integral x(4+x^2)^10,dx = integral u^10,du2 = 12integral u^10,du = 12cdotu^1111 + C = u^1122 + C
Retornando a x, obtemos tfrac(4+x^2)^1122+C.

Resposta

a) tfrac13sin(3x)+C
b) tfrac(4+x^2)^1122+C

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