Calcule as integrais fazendo as seguintes substituições:
\int x\left(4+x^{2}\right) d x, u=4+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\left(4+x^{2}\right)\,dx
usando a substituição indicada u=4+x^{2}.
Informações dadas: a integral indefinida \int x(4+x^{2})\,dx e a substituição u=4+x^{2}.
Objetivo: aplicar a substituição e obter uma primitiva da função; no final devemos colocar a constante de integração C.

Passo 2

Por que escolher u=4+x^{2}? Porque a expressão 4+x^{2} aparece inteira na integral e sua derivada é proporcional a x, que também aparece no integrando. Vamos calcular du em função de dx:
u = 4 + x^{2}
du = 2x\,dx
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Isso é útil porque o integrando tem exatamente o fator x\,dx.

Passo 3

Substituímos u e x\,dx na integral:
\int x\left(4+x^{2}\right)\,dx = \int u\cdot x\,dx.
Agora usamos x\,dx=\frac{1}{2}\,du:
\int u\cdot x\,dx = \int u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u\,du.

Passo 4

Integramos \int u\,du usando a regra da potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=1, então
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral:
\frac{1}{2}\int u\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{u^{2}}{4} + C.

Passo 5

Voltamos à variável x substituindo u=4+x^{2}:
\frac{u^{2}}{4} + C = \frac{\left(4+x^{2}\right)^{2}}{4} + C.
Como verificação rápida, podemos derivar essa expressão e ver que volta ao integrando:
\frac{d}{dx}\left(\frac{(4+x^{2})^{2}}{4}\right) = \frac{1}{4}\cdot 2(4+x^{2})\cdot 2x = x(4+x^{2}).
Logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{(4+x^{2})^{2}}{4}+C

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