Calcule as integrais fazendo as seguintes substituições:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a substituição indicada
.
Informações dadas: a integral indefinida e a substituição
.
Objetivo: aplicar a substituição e obter uma primitiva da função; no final devemos colocar a constante de integração .
Informações dadas: a integral indefinida
Objetivo: aplicar a substituição e obter uma primitiva da função; no final devemos colocar a constante de integração
Passo 2
Por que escolher
? Porque a expressão
aparece inteira na integral e sua derivada é proporcional a
, que também aparece no integrando. Vamos calcular
em função de
:
Isolando
obtemos
Isso é útil porque o integrando tem exatamente o fator
.
Passo 3
Substituímos
e
na integral:
Agora usamos
:
Passo 4
Integramos
usando a regra da potência para integrais: para qualquer
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral:
Passo 5
Voltamos à variável
substituindo
:
Como verificação rápida, podemos derivar essa expressão e ver que volta ao integrando:
Logo a primitiva está correta.