Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos ^{2}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a x da função dada pela integral
\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos^{2}(t)\,dt.
Informações importantes fornecidas:
  • O integrando é \cos^{2}(t).
  • O limite inferior da integral é \,e^{x^{2}}\,, que depende de x.
  • O limite superior é 0, constante.
  • A variável independente é x.
    A pergunta é: calcular \dfrac{d}{dx}\left(\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos^{2}(t)\,dt\right).

Passo 2

Primeiro uso uma propriedade simples de integrais: ao trocar os limites de integração o sinal da integral inverte. Ou seja, para quaisquer a,b,
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = -\int_{b}^{a} f(t)\,dt.
Aplicando isso ao nosso caso obtemos
\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos^{2}(t)\,dt = -\int_{0}^{e^{x^{2}}} \cos^{2}(t)\,dt.
Essa forma é mais conveniente porque agora a variável x aparece como limite superior.

Passo 3

Vou aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) combinado com a regra da cadeia. O teorema diz que, se F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt com f contínua, então
F'(x)=f(x).
Mais geralmente, se o limite superior é uma função g(x), então
\frac{d}{dx}\left(\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt\right) = f\big(g(x)\big)\,g'(x).
Isto é apenas a aplicação do teorema fundamental ao composto F(g(x)) seguida da regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao integrando f(t)=\cos^{2}(t) e ao limite superior g(x)=e^{x^{2}}, temos
\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{e^{x^{2}}} \cos^{2}(t)\,dt\right) = \cos^{2}\big(e^{x^{2}}\big)\cdot \frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}}\big).
Lembrete: como a nossa integral original tinha um sinal negativo (veja o Passo 2), teremos que multiplicar por -1 no final.

Passo 5

Agora calculo a derivada de g(x)=e^{x^{2}}. Isso é uma composição e^{u} com u=x^{2}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}}\big) = e^{x^{2}}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = e^{x^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}}.
Expliquei: a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}, e a derivada de x^{2} é 2x.

Passo 6

Juntando tudo (lembrando do sinal negativo do Passo 2):
\frac{d}{dx}\left(\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos^{2}(t)\,dt\right) = -\cos^{2}\big(e^{x^{2}}\big)\cdot \big(2x\,e^{x^{2}}\big).
Simplificando a escrita:
\frac{d}{dx}\left(\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos^{2}(t)\,dt\right) = -2x\,e^{x^{2}}\,\cos^{2}\big(e^{x^{2}}\big).

Resposta

-2x\,e^{x^{2}}\,\cos^{2}\big(e^{x^{2}}\big)

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