Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada em relação a
da função dada pela integral
Informações importantes fornecidas:
- O integrando é
. - O limite inferior da integral é
, que depende de . - O limite superior é
, constante. - A variável independente é
.
A pergunta é: calcular.
Passo 2
Primeiro uso uma propriedade simples de integrais: ao trocar os limites de integração o sinal da integral inverte. Ou seja, para quaisquer
,
Aplicando isso ao nosso caso obtemos
Essa forma é mais conveniente porque agora a variável
aparece como limite superior.
Passo 3
Vou aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) combinado com a regra da cadeia. O teorema diz que, se
com
contínua, então
Mais geralmente, se o limite superior é uma função
, então
Isto é apenas a aplicação do teorema fundamental ao composto
seguida da regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao integrando
e ao limite superior
, temos
Lembrete: como a nossa integral original tinha um sinal negativo (veja o Passo 2), teremos que multiplicar por
no final.
Passo 5
Agora calculo a derivada de
. Isso é uma composição
com
. Pela regra da cadeia,
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
.
Passo 6
Juntando tudo (lembrando do sinal negativo do Passo 2):
Simplificando a escrita: