Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
e a variável de integração é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função, isto é, uma função
tal que
. Ainda teremos que acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre estratégia (sem resolver ainda): quando temos uma potência de uma expressão linear do tipo
elevado a um inteiro, a técnica mais prática é a substituição simples (trocar a expressão interna por uma nova variável). Aqui a parte interna é
, que tem derivada constante, então escolhemos a substituição
Passo 3
Calcular o diferencial
a partir de
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
ou seja
Isolando
temos
Passo 4
Substituir na integral original: trocando
por
e
por
, a integral fica
Passo 5
Lembrete da regra de potência para integrais (a “fórmula mágica” que usamos): para
,
Essa fórmula vem porque, ao derivar
em relação a
, obtemos
(pelo teorema da derivada de potência). Aqui
, que não é
, então podemos aplicar a fórmula.
Passo 6
Aplicando a fórmula à integral em
:
Passo 7
Voltar à variável original substituindo
:
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a resposta encontramos
ou seja, a derivada da primitiva é a integranda original, como deve ser. Está correto!