Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int(2-x)^{100} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (2 - x)^{100}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é (2-x)^{100} e a variável de integração é x. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=(2-x)^{100}. Ainda teremos que acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre estratégia (sem resolver ainda): quando temos uma potência de uma expressão linear do tipo a+bx elevado a um inteiro, a técnica mais prática é a substituição simples (trocar a expressão interna por uma nova variável). Aqui a parte interna é 2-x, que tem derivada constante, então escolhemos a substituição
u = 2 - x.

Passo 3

Calcular o diferencial du a partir de u=2-x. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = -1,
ou seja
du = -\,dx.
Isolando dx temos
dx = -\,du.

Passo 4

Substituir na integral original: trocando 2-x por u e dx por -du, a integral fica
\int (2-x)^{100}\,dx = \int u^{100}(-\,du) = -\int u^{100}\,du.

Passo 5

Lembrete da regra de potência para integrais (a “fórmula mágica” que usamos): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Essa fórmula vem porque, ao derivar \dfrac{u^{n+1}}{n+1} em relação a u, obtemos u^n (pelo teorema da derivada de potência). Aqui n=100, que não é -1, então podemos aplicar a fórmula.

Passo 6

Aplicando a fórmula à integral em u:
- \int u^{100}\,du = -\left(\frac{u^{101}}{101}\right) + C = -\frac{u^{101}}{101} + C.

Passo 7

Voltar à variável original substituindo u=2-x:
-\frac{u^{101}}{101} + C = -\frac{(2-x)^{101}}{101} + C.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a resposta encontramos
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{(2-x)^{101}}{101}\right) = -\frac{1}{101}\cdot 101\,(2-x)^{100}\cdot\frac{d}{dx}(2-x) = - (2-x)^{100}\cdot(-1) = (2-x)^{100},
ou seja, a derivada da primitiva é a integranda original, como deve ser. Está correto!

Resposta

-\dfrac{(2-x)^{101}}{101}+C

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