Calcule as integrais fazendo a substituição adequada.
integral x(2-x^2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x(2 - x^2)^3 dx. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olha aí que temos 2 - x^2 elevado à terceira potência. Então, vamos deixar u = 2 - x^2. Isso vai facilitar a nossa vida na hora de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx. Então, dudx = -2x. Daí, podemos rearranjar para encontrar dx: dx = du-2x.

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral x(2 - x^2)^3 dx = integral x cdot u^3 cdot du-2x.
Os x se cancelam, sobrando: -12integral u^3 du.

Passo 5

Agora, vamos integrar u^3 em relação a u:
-12 cdot u^44 = -u^48.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo u por 2 - x^2:
-(2 - x^2)^48 + C, onde C é a constante de integração.

Resposta

integral x(2 - x^2)^3 dx = -(2 - x^2)^48 + C

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