integral x(x-1)^2(x^2+1) d x, sabendo que integral 1x^2+1 d x=arctg(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x(x-1)^2,(x^2+1),dx
Usaremos decomposição em frações parciais e em seguida integraremos termo a termo, lembrando que
integral 1x^2+1,dx = arctan(x)

Passo 2

Suponha a decomposição
x(x-1)^2(x^2+1) =Ax-1+B(x-1)^2+Cx+Dx^2+1
Multiplicando em ambos os lados por (x-1)^2(x^2+1), obtemos
x = A,(x-1)(x^2+1) + B,(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2

Passo 3

Expandindo cada termo:
A(x-1)(x^2+1)=A(x^3-x^2+x-1),
B(x^2+1)=Bx^2+B,
(Cx+D)(x-1)^2 = Cx^3+(-2C+D)x^2+(C-2D)x+D
Somando:
x = (A+C)x^3 + l(-A+B-2C+Dr)x^2 + l(A + C -2Dr)x + l(-A+B+Dr)

Passo 4

Igualando coeficientes em x^3,x^2,x^1,x^0 a 0,0,1,0 respectivamente, obtemos o sistema
A+C=0, -A+B-2C+D=0, A+C-2D=1, -A+B+D=0
Dessa forma encontra-se
A=0, C=0, B=tfrac12, D=-tfrac12

Passo 5

Logo
x(x-1)^2(x^2+1) =1/2(x-1)^2-1/2x^2+1
Integramos termo a termo:
integral 12(x-1)^2,dx =12integral (x-1)^-2,dx =-12(x-1),
integral 12(x^2+1),dx =12arctan(x)

Passo 6

Combinando os resultados e somando a constante de integração C, obtemos
integral x(x-1)^2(x^2+1),dx =-12(x-1)-12,arctan(x)+C

Resposta

-12(x-1)-12,arctan(x)+C

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