integral1^2 x^2(ln (x))^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^2 x^2l(ln(x)r)^2,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que nos ajuda a reduzir potências de logaritmo.

Passo 2

Escolhemos para a primeira parte de integração por partes:
u = l(ln(x)r)^2, dv = x^2,dx
Então
du = 2,ln(x)x,dx, v = integral x^2,dx = x^33

Passo 3

Aplicando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
temos
integral x^2l(ln(x)r)^2,dx = x^33l(ln(x)r)^2 - integral x^33cdot 2,ln(x)x,dx = x^33l(ln(x)r)^2 - 23integral x^2ln(x),dx

Passo 4

Agora calcularemos
integral x^2ln(x),dx
também por partes, com
u = ln(x), dv = x^2,dx
levando a
du = 1x,dx, v = x^33
Logo
integral x^2ln(x),dx = x^33ln(x) - integral x^33cdot1x,dx = x^33ln(x) - 13integral x^2,dx = x^33ln(x) - x^39

Passo 5

Substituindo de volta, a antiderivada geral é
integral x^2l(ln(x)r)^2,dx = x^33l(ln(x)r)^2 - 23l(x^33ln(x)-x^39r) + C = x^33(ln x)^2 - 2,x^39ln x + 2,x^327 + C

Passo 6

Agora avaliamos entre 1 e 2:
F(x) = x^33(ln x)^2 - 2,x^39ln x + 2,x^327
Então
integral1^2 x^2(ln x)^2,dx = F(2)-F(1)
Calculando
F(2) = 83(ln2)^2 - 169ln2 + 1627, F(1) = 0 - 0 + 227 = 227
Logo
F(2)-F(1) = 83(ln2)^2 - 169ln2 + 1627 - 227 = 83(ln2)^2 - 169ln2 + 1427

Resposta

boxedintegral1^2 x^2(ln x)^2,dx = 83(ln2)^2 - 169ln2 + 1427

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