Considere as funções f(x)=6 x-x^2 e g(x)=2 x.
Calcule área da região limitada pelo gráfico de f e g.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos de
f(x)=6x - x^2
e
g(x)=2x
Este é um problema de cálculo integral: a área entre curvas será
integrala^bl(f(x)-g(x)r),dx
onde a e b são os pontos de interseção.

Passo 2

Encontrar os pontos onde f(x)=g(x):
6x - x^2 = 2x
-,x^2 +4x = 0
x,(x-4)=0
Logo, as interseções ocorrem em x=0 e x=4.

Passo 3

Determinar qual curva está acima no intervalo [0,4]. Por exemplo, em x=1 temos
f(1)=6cdot1 - 1^2 =5, g(1)=2cdot1 =2,
então f(x)>= g(x) em todo [0,4]. Portanto a integranda é f(x)-g(x).

Passo 4

Expressar a área como integral:
Área = integral0^4l[f(x)-g(x)r],dx = integral0^4l((6x - x^2) - 2xr),dx = integral0^4(4x - x^2),dx Á

Passo 5

Calcular a integral:
integral(4x - x^2),dx = 2x^2 - x^33
Avalia em 0 e 4:
l[2x^2 - tfracx^33r]0^4 = l(2cdot16 - tfrac643r) - 0 = 32 - tfrac643 = tfrac96-643 = tfrac323

Resposta

A área da região limitada pelos gráficos de f e g é 323.

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