Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int \frac{d x}{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{2x}
usando uma substituição apropriada. O conteúdo é integração de função racional simples, que leva a um logaritmo natural.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x,
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du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{dx}{2x} = \int \frac{\frac{du}{2}}{u} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C.
Portanto,
\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\,\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x (lembre que u=2x),
\frac{1}{2}\,\ln\bigl|u\bigr| + C = \frac{1}{2}\,\ln\bigl|2x\bigr| + C.
Como \ln|2x| = \ln2 + \ln|x|, a constante pode absorver \tfrac12\ln2, ficando
\frac{1}{2}\ln\bigl|x\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{dx}{2x} = \frac{1}{2}\ln\bigl|x\bigr| + C.

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