Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int(3 x-1)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (3x - 1)^{5}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, que usa a regra da cadeia para reescrever a integral num formato mais simples.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3x - 1,
pois o integrando é uma potência de 3x - 1.

Passo 3

Calculamos o diferencial du. Como u = 3x - 1, temos
du = 3\,dx
ou seja
dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
\int (3x - 1)^{5}\,dx = \int u^{5} \cdot \frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{5}\,du.

Passo 5

Integramos \int u^{5}\,du usando a regra da potência:
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C.
Portanto
\frac{1}{3}\int u^{5}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{6}}{6} + C = \frac{u^{6}}{18} + C.

Passo 6

Voltamos à variável x com u = 3x - 1:
\frac{u^{6}}{18} + C = \frac{(3x - 1)^{6}}{18} + C.

Resposta

\frac{(3x - 1)^{6}}{18} + C

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