Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int x \cdot\left(2-x{2}\right){3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,(2 - x^{2})^{3}\,dx
usando substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique o fator (2 - x^{2}).

Passo 2

Seja
u = 2 - x^{2}.
Diferenciando, obtemos
du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int x\,(2 - x^{2})^{3}\,dx = \int u^{3}\,\bigl(-\tfrac{1}{2}\,du\bigr) = -\tfrac{1}{2}\,\int u^{3}\,du.

Passo 4

Calculemos agora a integral em u:
-\tfrac{1}{2}\,\int u^{3}\,du = -\tfrac{1}{2}\;\cdot\;\frac{u^{4}}{4} = -\frac{u^{4}}{8} + C.

Passo 5

Volte à variável x com u = 2 - x^{2}:
-\frac{u^{4}}{8} + C = -\frac{\bigl(2 - x^{2}\bigr)^{4}}{8} + C.

Resposta

-\frac{(2 - x^{2})^{4}}{8} + C

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