Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int \frac{x}{\left(4 x{2}+1\right){3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{\bigl(4x^{2}+1\bigr)^{3}}\,dx
usando substituição adequada. O conteúdo envolvido é a técnica de substituição para integrar funções racionais em que o denominador é uma função composta e seu numerador é proporcional à derivada interna.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4x^{2}+1.
Calculamos sua diferencial:
du = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{8}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{x}{\bigl(4x^{2}+1\bigr)^{3}}\,dx = \int \frac{1}{u^{3}}\cdot\bigl(x\,dx\bigr) = \int \frac{1}{u^{3}}\cdot\frac{1}{8}\,du = \frac{1}{8}\int u^{-3}\,du.
Agora integramos usando a regra \int u^{n}\,du = \tfrac{u^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1):
\frac{1}{8}\int u^{-3}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{16}\,u^{-2}+C.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = 4x^{2}+1:
-\frac{1}{16}\,u^{-2}+C = -\frac{1}{16}\,\bigl(4x^{2}+1\bigr)^{-2}+C.

Resposta

\int \frac{x}{\bigl(4x^{2}+1\bigr)^{3}}\,dx = -\frac{1}{16\,(4x^{2}+1)^{2}}+C.

Exercícios relacionados