Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int x^{3} \cdot e{x{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3} e^{x^{4}} \, dx
usando uma substituição de variável (u-substituição).

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{4}.
Diferenciando, obtemos
du = 4\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int x^{3} e^{x^{4}} \, dx = \int e^{u}\,\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\,\int e^{u}\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Logo,
\frac{1}{4}\,\int e^{u}\,du = \frac{1}{4}\,e^{u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u = x^{4}, a solução é
\int x^{3} e^{x^{4}} \, dx = \frac{1}{4}\,e^{x^{4}} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}e^{x^{4}} + C

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