Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int \frac{x{2}}{\sqrt{x{3}+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}\,dx
usando uma substituição apropriada. O conteúdo principal aqui é o método de substituição em integrais, que serve para transformar uma expressão difícil numa forma mais simples.

Passo 2

Observamos que o radicando x^{3}+1 atende bem a uma substituição. Definimos
u = x^{3} + 1.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Com isso, substituímos x^{2}\,dx e \sqrt{x^{3}+1} = \sqrt{u} na integral original.

Passo 3

Fazendo a troca de variáveis, a integral fica
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int u^{-\tfrac12}\,du.
Agora é só usar a regra de potência para integração:
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12}.

Passo 4

Portanto,
\frac{1}{3}\,\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{3}\,\bigl(2\,u^{\tfrac12}\bigr) = \frac{2}{3}\,\sqrt{u}
e voltando a variável x, temos
\frac{2}{3}\,\sqrt{x^{3}+1} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}\,dx = \frac{2}{3}\,\sqrt{x^{3}+1} + C.

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