Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int \frac{1}{(1-3 x)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{1}{(1-3x)^{2}}\,dx
usando uma substituição adequada. Aqui o conteúdo é integração por substituição (ou mudança de variável), onde reconhecemos que o denominador é uma função linear elevada a uma potência.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1-3x.
Diferenciando, vem
du = -3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo u e dx na integral, temos
\int \frac{1}{(1-3x)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\biggl(-\tfrac{1}{3}\,du\biggr) = -\tfrac{1}{3}\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos a potência de u:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Portanto
-\tfrac{1}{3}\int u^{-2}\,du = -\tfrac{1}{3}\bigl(-u^{-1}\bigr) + C = \tfrac{1}{3}\,u^{-1} + C.

Passo 5

Voltando à variável original ( u=1-3x), obtemos
\frac{1}{3}\,u^{-1} + C = \frac{1}{3}\,\frac{1}{1-3x} + C.

Resposta

\frac{1}{3\,(1-3x)} + C

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