Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int \operatorname{sec} 4 x \cdot \operatorname{tg} 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec}(4x)\,\tan(4x)\,dx
Esse tipo de integral sugere usar a técnica de substituição, pois sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sec}(u)\bigr]=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u).

Passo 2

Definimos a substituição
u = 4x.
Então
du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \operatorname{sec}(4x)\,\tan(4x)\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du.

Passo 4

Reconhecemos que
\int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du = \operatorname{sec}(u) + C.
Portanto,
\frac{1}{4}\int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du = \frac{1}{4}\operatorname{sec}(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x (isto é, u=4x), obtemos
\frac{1}{4}\operatorname{sec}(u) + C = \frac{1}{4}\operatorname{sec}(4x) + C.

Resposta

\int \operatorname{sec}(4x)\,\tan(4x)\,dx = \frac{1}{4}\operatorname{sec}(4x) + C.

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