Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas.
\int e^{2 t} \cdot \sqrt{1+e^{2 t}} d t ; \quad u=1+e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{2t}\,\sqrt{1+e^{2t}}\;dt
usando a substituição u = 1 + e^{2t}. O conteúdo aqui é integração por substituição.

Passo 2

Começamos encontrando du. Como
u = 1 + e^{2t},
derivando em relação a t temos
\frac{du}{dt} = 2e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad e^{2t}\,dt = \frac{du}{2}.

Passo 3

Agora substituímos na integral original. Note que \sqrt{1+e^{2t}} = \sqrt{u} e e^{2t}\,dt = du/2, logo
\int e^{2t}\,\sqrt{1+e^{2t}}\;dt = \int \sqrt{u}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}.
Multiplicando pelo fator 1/2 fica
\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} = \frac{1}{3}\,u^{\tfrac32}.

Passo 5

Voltando à variável t, lembrando que u = 1 + e^{2t}, obtemos
\int e^{2t}\,\sqrt{1+e^{2t}}\;dt = \frac{1}{3}\,\bigl(1 + e^{2t}\bigr)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\frac{\bigl(1 + e^{2t}\bigr)^{\tfrac32}}{3} + C

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