Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int \operatorname{sec} ^{2} 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(5x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
\displaystyle u = 5x.
Dessa forma
\displaystyle du = 5\,dx
e
\displaystyle dx = \frac{du}{5}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
\int \operatorname{sec}^{2}(5x)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x, obtemos
\frac{1}{5}\tan(u) + C = \frac{1}{5}\tan(5x) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\tan(5x) + C

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