Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas.
\int \frac{x^{2}}{x^{3}-4} d x ; \quad u=x^{3}-4

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int \frac{x^{2}}{x^{3}-4}\,dx
utilizando a substituição indicada
u = x^{3}-4.
O conteúdo aqui é integração por substituição, que nos levará a uma integral de potência simples em u.

Passo 2

Definimos
u = x^{3} - 4
e, derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{x^{2}}{x^{3}-4}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{-1}\,du.
Essa é uma integral imediata de u^{-1}.

Passo 4

Calculando e voltando à variável x,
\frac{1}{3}\int u^{-1}\,du = \frac{1}{3}\ln\bigl|u\bigr| + C = \frac{1}{3}\ln\bigl|x^{3}-4\bigr| + C.

Resposta

\frac{1}{3}\ln\bigl|x^{3}-4\bigr| + C.

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