Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int x^{2} \cdot e^{-2 x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{2}\,e^{-2x^{3}}\,dx
usando uma substituição apropriada. O conteúdo aqui é o método de substituição em integrais, onde escolhemos uma expressão cuja derivada apareça (ou seja, apareça um fator da forma du).

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = -2x^{3}.
Calculamos sua derivada:
du = \frac{d}{dx}(-2x^{3})\,dx = -6x^{2}\,dx,
ou seja
x^{2}\,dx = -\frac{1}{6}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x^{2}\,e^{-2x^{3}}\,dx = \int e^{u}\,\Bigl(-\tfrac{1}{6}\,du\Bigr) = -\frac{1}{6}\int e^{u}\,du = -\frac{1}{6}\,e^{u} + C.
Agora voltamos à variável x, lembrando que u=-2x^{3}.

Resposta

-\frac{1}{6}\,e^{-2x^{3}} + C

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