Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada:
integral0^1 xraiz[5]x^2-1 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral0^1 xraiz[5]x^2-1 , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a substituição adequada para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Vamos definir u = x^2 - 1. Isso significa que precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Calculamos a derivada de u:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso nos permite resolver para x , dx:
x , dx = du2

Passo 4

Agora, substituímos x , dx e u na integral original:
integral0^1 xraiz[5]x^2-1 , dx = integral du2raiz[5]u = 12 integral u^-1/5 , du
Aqui, usamos a propriedade de que raiz[5]u = u^1/5, e assim o denominador se torna u^1/5, que ao ser levado para a forma de potência fica u^-1/5.

Passo 5

Integrando u^-1/5 em relação a u:
12 integral u^-1/5 , du = 12 cdot ( u^4/54/5 ) + C = 58 u^4/5 + C
Aqui, aplicamos a regra da potência para integração, onde integral u^n , du = u^n+1n+1 + C.

Passo 6

Voltamos à variável original x substituindo u = x^2 - 1:
58 (x^2 - 1)^4/5 + C

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ 58 (x^2 - 1)^4/5 ]0^1 = 58 ( (1^2 - 1)^4/5 - (0^2 - 1)^4/5 )
Simplificando os termos:
= 58 ( 0^4/5 - (-1)^4/5 ) = 58 (0 - 1) = -58

Resposta

O valor da integral é -dfrac58.

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