Nos exercícios 1-10, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^3 integral0^2(4-y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar a região de integração e calcular a integral dupla integral0^3 integral0^2(4-y^2) , dy , dx. Isso envolve usar conceitos de cálculo de integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em planos bidimensionais. Vamos precisar entender como funciona a integração em duas variáveis e como identificar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Temos x variando de 0 a 3 e, para cada x, y varia de 0 a 2. Isso significa que estamos olhando para um retângulo no plano xy onde:
  • x vai de 0 a 3 (eixo horizontal)
  • y vai de 0 a 2 (eixo vertical)
Então, a região de integração é um retângulo com vértices em (0,0), (3,0), (3,2) e (0,2).

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a y:
integral0^2(4 - y^2) , dy
Para resolver isso, integramos cada termo separadamente:
integral0^2 4 , dy = 4y |0^2 = 4(2) - 4(0) = 8
integral0^2 -y^2 , dy = -y^33 |0^2 = -83 + 0 = -83
Somando os dois resultados:
8 - 83 = 243 - 83 = 163

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral externa, que é em relação a x:
integral0^3 163 , dx
Como 163 é uma constante em relação a x, a integral fica:
163 cdot x |0^3 = 163 cdot 3 - 163 cdot 0 = 16 - 0 = 16

Resposta

A integral dupla integral0^3 integral0^2(4-y^2) , dy , dx vale 16.

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