Se f(z)=z^4 e^5 z, use a Série de Taylor para encontrar a derivada f^(100)(0).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir a questão: precisamos encontrar f^(100)(0) para f(z)=z^4e^5z. O conteúdo principal aqui é expansão em série de Taylor de e^5z e usar a relação entre coeficiente da série e derivadas.

Passo 2

Sabemos que a série de Taylor de e^5z em torno de 0 é
e^5z= sumn=0^infty(5z)^nn! =sumn=0^infty5^nn!z^n
Como f(z)=z^4e^5z, basta multiplicar essa série por z^4.

Passo 3

Multiplicando por z^4, obtemos
f(z)=z^4e^5z= sumn=0^infty5^nn!z^n+4
Aqui o coeficiente do termo z^k é ak=5^k-4(k-4)! para k>=4, e zero para k<4.

Passo 4

Para achar f^(100)(0), usamos que numa série sum akz^k vale
f^(k)(0)=k!,ak
No nosso caso, k=100, então precisamos de a100.

Passo 5

Como a100=5^100-4(100-4)!=5^9696!, temos
f^(100)(0)=100!cdot5^9696!

Passo 6

Podemos simplificar 100!96!=100cdot99cdot98cdot97. Assim a resposta final fica:
f^(100)(0)=100cdot99cdot98cdot97cdot5^96

Resposta

f{(100)}(0)=100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot5{96}

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