Determine o valor de Res(cos zz^3 ; 0)

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de Res(cos zz^3 ; 0). Isso significa que vamos calcular o resíduo da função cos zz^3 no ponto z = 0. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Laurent e identificar o coeficiente de 1z nessa expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expansão em série de Taylor para cos z. Sabemos que:
cos z = sumk=0^infty (-1)^k z^2k(2k)!
Isso significa que podemos escrever cos z como uma soma infinita de termos envolvendo potências pares de z.

Passo 3

Agora, vamos dividir essa série por z^3 para obter a expressão de cos zz^3:
cos zz^3 = sumk=0^infty (-1)^k z^2k(2k)! cdot 1z^3 = sumk=0^infty (-1)^k z^2k - 3(2k)!
Dessa forma, a função é representada como uma série de potências de z.

Passo 4

Para encontrar o resíduo, precisamos identificar o coeficiente do termo 1z na série acima. Isso acontece quando o expoente de z é -1, ou seja:
2k - 3 = -1
Resolvendo essa equação:
2k = 2 Rightarrow k = 1

Passo 5

Com k = 1, vamos calcular o coeficiente correspondente:
(-1)^1(2 cdot 1)! = -12 = -12
Esse é o coeficiente do termo 1z na série.

Resposta

O valor de Res(cos zz^3 ; 0) é -12.

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