Use a Definição de Área, tomando x_{k}^{*} como (i) a extremidade esquerda de cada subintervalo e (ii) a extremidade direita de cada subintervalo, para encontrar a área sob a curva y=f(x) acima do intervalo especificado.
f(x)=5-x,[0,5]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área sob a reta y=f(x)=5-x no intervalo [0,5] usando a definição de área via soma de Riemann. Vamos dividir [0,5] em n subintervalos iguais e calcular (i) a soma usando as extremidades esquerdas e (ii) a soma usando as extremidades direitas, tomando depois o limite n\to\infty.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,5] em n partes de comprimento
\Delta x = \frac{5-0}{n} = \frac{5}{n},
e marcamos os pontos
x_k = 0 + k\,\Delta x = \frac{5k}{n},
para k=0,1,\dots,n.

Passo 3

(i) Soma de Riemann pelas extremidades esquerdas: tomamos x_k^*=x_{k-1}. A soma é
S_n^{(L)} = \sum_{k=1}^{n} f(x_{k-1})\,\Delta x = \sum_{k=1}^{n}\Bigl(5 - x_{k-1}\Bigr)\frac{5}{n} = \sum_{k=1}^{n}\Bigl(5 - \frac{5(k-1)}{n}\Bigr)\frac{5}{n}.
Calculando
\sum_{k=1}^{n}\Bigl(5 - \frac{5(k-1)}{n}\Bigr) = 5n - \frac{5}{n}\sum_{k=1}^{n}(k-1) = 5n - \frac{5}{n}\cdot\frac{(n-1)n}{2} = \frac{5(n+1)}{2},
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S_n^{(L)} = \frac{5}{n}\cdot\frac{5(n+1)}{2} = \frac{25(n+1)}{2n}.
Fazendo n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}S_n^{(L)} = \frac{25}{2}.

Passo 4

(ii) Soma de Riemann pelas extremidades direitas: tomamos x_k^*=x_{k}. A soma é
S_n^{(R)} = \sum_{k=1}^{n} f(x_{k})\,\Delta x = \sum_{k=1}^{n}\Bigl(5 - \frac{5k}{n}\Bigr)\frac{5}{n}.
Calculando
\sum_{k=1}^{n}\Bigl(5 - \frac{5k}{n}\Bigr) = 5n - \frac{5}{n}\sum_{k=1}^{n}k = 5n - \frac{5}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{5(n-1)}{2},
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S_n^{(R)} = \frac{5}{n}\cdot\frac{5(n-1)}{2} = \frac{25(n-1)}{2n}.
Fazendo n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}S_n^{(R)} = \frac{25}{2}.

Passo 5

Em ambos os casos, ao fazermos n\to\infty, a soma de Riemann converge para
\frac{25}{2}.
Isso bate com a área do triângulo de base 5 e altura 5, que é \tfrac{5\cdot5}{2}=12{,}5.

Resposta

A área sob a curva y=5-x no intervalo [0,5] é
\frac{25}{2}.

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