Use a Definição de Área, tomando
como (i) a extremidade esquerda de cada subintervalo e (ii) a extremidade direita de cada subintervalo, para encontrar a área sob a curva
acima do intervalo especificado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área sob a reta
no intervalo
usando a definição de área via soma de Riemann. Vamos dividir
em
subintervalos iguais e calcular (i) a soma usando as extremidades esquerdas e (ii) a soma usando as extremidades direitas, tomando depois o limite
.
Passo 2
Dividimos o intervalo
em
partes de comprimento
e marcamos os pontos
para
.
Passo 3
(i) Soma de Riemann pelas extremidades esquerdas: tomamos
. A soma é
Calculando
logo
Fazendo
,
Passo 4
(ii) Soma de Riemann pelas extremidades direitas: tomamos
. A soma é
Calculando
logo
Fazendo
,
Passo 5
Em ambos os casos, ao fazermos
, a soma de Riemann converge para
Isso bate com a área do triângulo de base
e altura
, que é
.
Resposta
A área sob a curva
no intervalo
é