Use a Definição de Área, tomando x_{k}^{*} como (i) a extremidade esquerda de cada subintervalo e (ii) a extremidade direita de cada subintervalo, para encontrar a área sob a curva y=f(x) acima do intervalo especificado.
f(x)=x / 2,[1,4]

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva y=f(x)=\tfrac x2 no intervalo [1,4] usando a definição de área via soma de Riemann. Vamos particionar [1,4] em n subintervalos iguais de comprimento
\Delta x = \frac{4-1}{n} = \frac{3}{n},
e tomar x_k^* (i) como a extremidade esquerda de cada subintervalo e (ii) como a extremidade direita. A área é
A = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*)\,\Delta x.
Como f é contínua em [1,4], o limite existe e não depende da escolha de x_k^*.

Passo 2

(i) Extremidade esquerda. Aqui
x_k^* = 1 + (k-1)\,\frac{3}{n}.
Então a soma de Riemann é
S_n^L = \sum_{k=1}^{n} f\bigl(x_k^*\bigr)\,\Delta x = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 + (k-1)\frac{3}{n}}{2}\,\frac{3}{n} = \frac{3}{n}\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac12 + \frac{3(k-1)}{2n}\Bigr).
Para simplificar use \sum_{k=1}^n1=n e \sum_{k=1}^n(k-1)=\frac{n(n-1)}{2}.

Passo 3

Continuando o cálculo de S_n^L:
S_n^L = \frac{3}{n}\Bigl(\frac{n}{2} + \frac{3}{2n}\cdot\frac{n(n-1)}{2}\Bigr) = \frac{3}{2} + \frac{9(n-1)}{4n}.
Fazendo n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}S_n^L = \frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}.

Passo 4

(ii) Extremidade direita. Agora
x_k^* = 1 + k\,\frac{3}{n},
e
S_n^R = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 + k\frac{3}{n}}{2}\,\frac{3}{n} = \frac{3}{n}\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac12 + \frac{3k}{2n}\Bigr).
Use \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} para obter
S_n^R = \frac{3}{n}\Bigl(\frac{n}{2} + \frac{3}{2n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\Bigr) = \frac{3}{2} + \frac{9(n+1)}{4n}.
Tomando o limite,
\lim_{n\to\infty}S_n^R = \frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}.

Resposta

A área sob a curva y=\tfrac x2 de x=1 a x=4 é
\boxed{\frac{15}{4}}.

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