Use a Definição de Área, tomando
como (i) a extremidade esquerda de cada subintervalo e (ii) a extremidade direita de cada subintervalo, para encontrar a área sob a curva
acima do intervalo especificado.
Passo 1
O enunciado pede a área sob a curva
no intervalo
usando a definição de área via soma de Riemann. Vamos particionar
em
subintervalos iguais de comprimento
e tomar
(i) como a extremidade esquerda de cada subintervalo e (ii) como a extremidade direita. A área é
Como
é contínua em
, o limite existe e não depende da escolha de
.
Passo 2
(i) Extremidade esquerda. Aqui
Então a soma de Riemann é
Para simplificar use
e
.
Passo 3
Continuando o cálculo de
:
Fazendo
obtemos
Passo 4
(ii) Extremidade direita. Agora
e
Use
para obter
Tomando o limite,
Resposta
A área sob a curva
de
a
é