Verifique que as funções
e
são diferenciáveis em
.
Determine os planos tangentes aos gráficos de
e
em
e escreva as suas linearizações em
. Use estas linearizações para aproximar o valor de
e
.
Determine os planos tangentes aos gráficos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas funções dadas:
O que a gente precisa fazer é:
- Verificar se essas funções são diferenciáveis no ponto
. - Determinar os planos tangentes aos gráficos dessas funções nesse ponto.
- Escrever as linearizações dessas funções em
. - Usar essas linearizações para aproximar os valores de
e .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais, diferenciabilidade e como achar planos tangentes e linearizações de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é diferenciável em
.
Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ter derivadas parciais contínuas nesse ponto.
Vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 5
Como as derivadas parciais
e
existem e são contínuas em
, podemos concluir que
é diferenciável nesse ponto.
Passo 6
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função
em
.
Primeiro, observamos que
depende apenas de
, então
.
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 7
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 8
A derivada parcial em relação a
é:
Portanto,
tem derivadas parciais existentes e contínuas em
, o que confirma que
é diferenciável nesse ponto.
Passo 9
Agora que já sabemos que ambas as funções são diferenciáveis em
, vamos determinar os planos tangentes aos gráficos de
e
nesse ponto.
Para uma função
, o plano tangente em
é dado por:
Passo 10
Aplicando isso para a função
em
:
Primeiro, calculamos
:
Já sabemos que
e
.
Então, o plano tangente a
em
é:
Passo 11
Agora, para a função
em
:
Primeiro, calculamos
:
Sabemos que
e
.
Então, o plano tangente a
em
é:
Passo 12
Agora, vamos escrever as linearizações dessas funções em
. A linearização é basicamente o plano tangente que acabamos de encontrar.
Então:
- Linearização de
:
- Linearização de
:
Passo 13
Finalmente, vamos usar essas linearizações para aproximar os valores de
e
.
Vamos substituir
e
nas linearizações.
Passo 14
Para
usando a linearização
:
Passo 15
Para
usando a linearização
:
Resposta
As funções
e
são diferenciáveis em
.
Os planos tangentes aos gráficos em
são:
- Para
: - Para
:
As linearizações em
são:
Usando essas linearizações, as aproximações são: