Esboçe a região delimitada pelas curvas indicadas, indique tipo e encontre sua área:
y=14 x^2, y=2 x^2, x+y=3 e x >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região delimitada pelas curvas y = 14x^2 , y = 2x^2 , x + y = 3 e x >= 0 . Além disso, precisamos identificar o tipo dessa região e calcular a área dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre curvas quadráticas (parábolas) e linhas retas, além de saber como encontrar pontos de interseção e integrar para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que temos:
  1. y = 14x^2 e y = 2x^2 são parábolas que abrem para cima. A primeira é mais “aberta” e a segunda mais “fechada”.
  2. x + y = 3 é uma linha reta.
  3. x >= 0 nos diz que estamos trabalhando apenas na parte direita do eixo y.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se interceptam. Começamos encontrando a interseção entre y = 14x^2 e y = 2x^2 :
14x^2 = 2x^2 Rightarrow 14x^2 - 2x^2 = 0 Rightarrow -74x^2 = 0 Rightarrow x = 0
Então, elas se cruzam no ponto (0, 0) .

Passo 4

Agora, vamos achar onde cada parábola intercepta a reta x + y = 3 .
Para y = 14x^2 :
x + 14x^2 = 3 Rightarrow 14x^2 + x - 3 = 0 Rightarrow x^2 + 4x - 12 = 0
Usando a fórmula quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
x = -4 pm raiz16 + 482 = -4 pm raiz642 = -4 pm 82
Então, x = 2 ou x = -6 . Como x >= 0 , consideramos x = 2 . Substituindo na reta:
y = 3 - 2 = 1
Ponto de interseção: (2, 1) .
Para y = 2x^2 :
x + 2x^2 = 3 Rightarrow 2x^2 + x - 3 = 0
Usando a fórmula quadrática:
x = -1 pm raiz1 + 244 = -1 pm raiz254 = -1 pm 54
Então, x = 1 ou x = -32 . Considerando x >= 0 , temos x = 1 . Substituindo na reta:
y = 3 - 1 = 2
Ponto de interseção: (1, 2) .

Passo 5

Agora sabemos que a região está limitada entre x = 0 , x = 2 , e entre as parábolas e a reta. Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre a função superior e a inferior em cada intervalo.
Observando os pontos de interseção, vemos que de x = 0 a x = 1 , a curva superior é y = 2x^2 e a inferior y = 14x^2 . De x = 1 a x = 2 , a curva superior é a reta y = 3 - x e a inferior ainda é y = 14x^2 .

Passo 6

Vamos calcular a área A em duas partes:
  1. De x = 0 a x = 1 :
A1 = integral0^1 (2x^2 - 14x^2) dx = integral0^1 74x^2 dx = 74 cdot [ x^33 ]0^1 = 74 cdot 13 = 712
  1. De x = 1 a x = 2 :
A2 = integral1^2 ( (3 - x) - 14x^2 ) dx = integral1^2 (3 - x - 14x^2) dx
= [ 3x - 12x^2 - 112x^3 ]1^2
= (6 - 2 - 812) - (3 - 12 - 112) = (4 - 23) - (2.5 - 112)
= 103 - 2912 = 4012 - 2912 = 1112

Resposta

Somando as duas partes, a área total é:
A = A1 + A2 = 712 + 1112 = 1812 = 32
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é 32 unidades de área.

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