Esboçe a região delimitada pelas curvas indicadas, indique tipo e encontre sua área:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região delimitada pelas curvas
,
,
e
. Além disso, precisamos identificar o tipo dessa região e calcular a área dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre curvas quadráticas (parábolas) e linhas retas, além de saber como encontrar pontos de interseção e integrar para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que temos:
-
e são parábolas que abrem para cima. A primeira é mais “aberta” e a segunda mais “fechada”. -
é uma linha reta. -
nos diz que estamos trabalhando apenas na parte direita do eixo y.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se interceptam. Começamos encontrando a interseção entre
e
:
Então, elas se cruzam no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos achar onde cada parábola intercepta a reta
.
Para
:
Usando a fórmula quadrática
:
Então,
ou
. Como
, consideramos
. Substituindo na reta:
Ponto de interseção:
.
Para
:
Usando a fórmula quadrática:
Então,
ou
. Considerando
, temos
. Substituindo na reta:
Ponto de interseção:
.
Passo 5
Agora sabemos que a região está limitada entre
,
, e entre as parábolas e a reta. Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre a função superior e a inferior em cada intervalo.
Observando os pontos de interseção, vemos que de
a
, a curva superior é
e a inferior
. De
a
, a curva superior é a reta
e a inferior ainda é
.
Passo 6
Vamos calcular a área
em duas partes:
- De
a :
- De
a :
Resposta
Somando as duas partes, a área total é:
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.