Seja
a curva parametrizada por
e
uma função contínua na origem. Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que, quando o raio
de uma curva circular
que gira em torno da origem diminui para zero, o valor da integral de
ao longo dessa curva se aproxima de
. Aqui, estamos trabalhando com integração de funções complexas e vamos precisar entender um pouco sobre contornos e limites na análise complexa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é essa curva
. Ela é parametrizada por
, onde
varia de
a
. Isso significa que
é um círculo de raio
centrado na origem no plano complexo.
Passo 3
A integral que precisamos calcular é
. Aqui,
indica que estamos fazendo uma integração ao longo do contorno
. A função
é contínua na origem, ou seja,
não tem “saltos” ou “interrupções” ali.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a parametrização da curva
. Sabemos que
, então
. Substituindo isso na integral, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, o
no denominador e no numerador se cancelam:
Passo 6
Agora, observamos que à medida que
tende a zero,
também tende a zero para todo
. Como
é contínua na origem,
tende a
quando
.
Passo 7
Portanto, podemos aproximar
por
na integral quando
é muito pequeno:
Passo 8
Finalmente, juntando tudo, temos que:
Resposta
Assim, provamos que
.