Seja Cr a curva parametrizada por z=r e^i theta, 0 <= theta <= 2 pi e f uma função contínua na origem. Prove que
lim r 0 ointCr f(z)z d z=2 pi i f(0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que, quando o raio r de uma curva circular Cr que gira em torno da origem diminui para zero, o valor da integral de f(z)z ao longo dessa curva se aproxima de 2pi i f(0) . Aqui, estamos trabalhando com integração de funções complexas e vamos precisar entender um pouco sobre contornos e limites na análise complexa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é essa curva Cr . Ela é parametrizada por z = r e^itheta , onde theta varia de 0 a 2pi . Isso significa que Cr é um círculo de raio r centrado na origem no plano complexo.

Passo 3

A integral que precisamos calcular é ointCr f(z)z dz . Aqui, oint indica que estamos fazendo uma integração ao longo do contorno Cr . A função f(z) é contínua na origem, ou seja, f(z) não tem “saltos” ou “interrupções” ali.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a parametrização da curva Cr . Sabemos que z = r e^itheta , então dz = i r e^itheta dtheta . Substituindo isso na integral, temos:
ointCr f(z)z dz = integral0^2pi f(r e^itheta)r e^itheta cdot i r e^itheta dtheta

Passo 5

Simplificando a expressão, o r e^itheta no denominador e no numerador se cancelam:
integral0^2pi f(r e^itheta) cdot i , dtheta = i integral0^2pi f(r e^itheta) dtheta

Passo 6

Agora, observamos que à medida que r tende a zero, r e^itheta também tende a zero para todo theta . Como f(z) é contínua na origem, f(r e^itheta) tende a f(0) quando r to 0 .

Passo 7

Portanto, podemos aproximar f(r e^itheta) por f(0) na integral quando r é muito pequeno:
i integral0^2pi f(r e^itheta) dtheta approx i integral0^2pi f(0) dtheta = i f(0) cdot 2pi

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, temos que:
limr to 0 ointCr f(z)z dz = 2pi i f(0)

Resposta

Assim, provamos que limr 0 ointCr f(z)z dz = 2 pi i f(0) .

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