Calcule as integrais das funções racionais abaixo.
\int \frac{d x}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral
\int \frac{dx}{x\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integranda é uma função racional (quociente de polinômios).
  • O denominador fatoriza em um fator linear x e um fator quadrático irreducível x^{2}-x+1 (ele não tem raízes reais porque o discriminante (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=-3<0).
  • Como o denominador tem fator quadrático repetido (ao quadrado), a decomposição em frações parciais exigirá termos do tipo \dfrac{A}{x}, \dfrac{Bx+C}{x^{2}-x+1} e \dfrac{Dx+E}{(x^{2}-x+1)^{2}}.
O enunciado pede apenas o valor da integral indefinida (ou seja, a antiderivada).

Passo 2

Escolha do método: usaremos decomposição em frações parciais (método padrão para integrais de funções racionais). Depois de decompor, integramos termo a termo. Não há instrução especial no enunciado, então este é o caminho mais direto e prático em prova.
Vou escrever a decomposição geral e determinar as constantes por comparação de coeficientes.

Passo 3

Proponho a decomposição
\frac{1}{x\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}} = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}+\frac{Dx+E}{\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}}.
Multiplico ambos os lados por x\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2} para obter uma identidade polinomial:
1 = A\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2} + x(Bx+C)\bigl(x^{2}-x+1\bigr) + x(Dx+E).

Passo 4

Vou expandir e agrupar termos por potências de x. Primeiro:
\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2} = x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2x+1.
Multiplicando e somando os outros termos:
x(Bx+C)\bigl(x^{2}-x+1\bigr) = Bx^{4}+(-B+C)x^{3}+(B-C)x^{2}+Cx,
x(Dx+E)=Dx^{2}+Ex.
Somando tudo:
1 = (A+B)x^{4}+(-2A-B+C)x^{3}+(3A+B-C+D)x^{2}+(-2A+C+E)x+(A).

Passo 5

Comparo coeficientes com o polinômio constante 1\), ou seja, coeficiente de \(x^{4},x^{3},x^{2},x,1\) devem ser \(0,0,0,0,1\) respectivamente. Assim obtemos o sistema: \[\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] -2A-B+C=0,\\[4pt] 3A+B-C+D=0,\\[4pt] -2A+C+E=0,\\[4pt] A=1. \end{cases}
Como (A=1], substituo:
\begin{aligned} 1+B&=0 \Rightarrow B=-1,\\\\ -2\cdot1 -(-1) + C&=0 \Rightarrow -2+1+C=0 \Rightarrow C=1,\\\\ 3\cdot1 +(-1) -1 + D&=0 \Rightarrow 3-1-1+D=0 \Rightarrow D=-1,\\\\ -2\cdot1 +1 + E&=0 \Rightarrow -2+1+E=0 \Rightarrow E=1. \end{aligned}]

Passo 6

Portanto a decomposição fica (substituindo as constantes encontradas)
\frac{1}{x\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}} = \frac{1}{x}+\frac{-x+1}{x^{2}-x+1}+\frac{-x+1}{\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}}.
Vou integrar termo a termo:
\int \frac{dx}{x\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}} = \int \frac{dx}{x} + \int \frac{-x+1}{x^{2}-x+1}\,dx + \int \frac{-x+1}{\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}}\,dx.
Chamo esses integrais de I_1,I_2,I_3 respectivamente.

Passo 7

Integro I_1 imediatamente:
I_1=\int \frac{dx}{x}=\ln|x|.
Para I_2 e I_3 note a notação conveniente: defina
Q(x)=x^{2}-x+1.
Então Q'(x)=2x-1. Vou reescrever o numerador -x+1 em termos de Q'(x) mais um resto constante:
procuro \alpha,\beta tais que
-x+1=\alpha(2x-1)+\beta.
Comparando coeficientes: do termo em x: -1=2\alpha\Rightarrow \alpha=-\tfrac{1}{2}. Do termo constante: 1=-\alpha+\beta\Rightarrow \beta=\tfrac{1}{2}.
Logo
-x+1 = -\tfrac{1}{2}Q'(x)+\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Agora I_2:
I_2=\int \frac{-x+1}{Q}\,dx = \int \left(-\tfrac{1}{2}\frac{Q'(x)}{Q(x)} + \tfrac{1}{2}\frac{1}{Q(x)}\right)dx.
O primeiro termo é imediato:
-\tfrac{1}{2}\int \frac{Q'}{Q}\,dx = -\tfrac{1}{2}\ln Q.
Para o segundo termo usamos completamento de quadrado em Q(x):
Q(x)=\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{3}{4}.
A integral padrão é
\int \frac{dx}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\biggl(\frac{u}{a}\biggr).
Aqui u=x-\tfrac{1}{2} e a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
\int \frac{dx}{Q(x)}=\int \frac{dx}{\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\biggr).
Multiplicando por \tfrac{1}{2} (do desenvolvimento acima) obtemos
I_2 = -\tfrac{1}{2}\ln Q + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\biggr).

Passo 9

Agora I_3=\int \dfrac{-x+1}{Q^{2}}\,dx. Usando a mesma escrita do numerador:
I_3 = \int \left(-\tfrac{1}{2}\frac{Q'}{Q^{2}} + \tfrac{1}{2}\frac{1}{Q^{2}}\right)dx.
Para o primeiro termo fazemos a substituição u=Q(x), então du=Q'(x)\,dx e
-\tfrac{1}{2}\int \frac{Q'}{Q^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{2}\int \frac{du}{u^{2}} = -\tfrac{1}{2}\cdot\biggl(-\frac{1}{u}\biggr) = \frac{1}{2Q(x)}.
Para o segundo termo precisamos calcular \int \dfrac{dx}{Q^{2}} onde, lembrando, Q(x)=(x-\tfrac12)^{2}+b^{2} com b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Há uma fórmula padrão (que posso obter diferenciando a expressão dada abaixo; aqui uso-a e mostro a verificação rápida a seguir):
\int \frac{du}{(u^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{u}{2a^{2}(u^{2}+a^{2})} + \frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\biggl(\frac{u}{a}\biggr)+C,
onde u é variável de integração e a>0. (Verificação rápida: derivando o RHS obtém-se exatamente 1/(u^{2}+a^{2})^{2}.)
Aplicando isso com u=x-\tfrac12 e a=b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
\int \frac{dx}{Q(x)^{2}} = \frac{2x-1}{3Q(x)} + \frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\biggr).
(Detalhe dos coeficientes: 2a^{2}=2\cdot\frac{3}{4}=\tfrac{3}{2} e 2a^{3}=2\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}=\tfrac{3\sqrt{3}}{4}, daí os números apresentados.)
Multiplicando por \tfrac{1}{2} (porque tínhamos \tfrac{1}{2}\cdot\int 1/Q^{2}) obtemos
\tfrac{1}{2}\int \frac{dx}{Q^{2}} = \frac{2x-1}{6Q} + \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\biggr).
Somando agora com a contribuição \dfrac{1}{2Q} já obtida:
I_3 = \frac{1}{2Q} + \frac{2x-1}{6Q} + \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\biggr).
Os dois termos racionais somam-se:
\frac{1}{2Q} + \frac{2x-1}{6Q} = \frac{3+(2x-1)}{6Q} = \frac{2x+2}{6Q} = \frac{x+1}{3Q}.
Logo
I_3 = \frac{x+1}{3Q} + \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\biggr).

Passo 10

Reunindo I_1+I_2+I_3 obtemos a antiderivada completa:
\begin{aligned} \int \frac{dx}{x\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}} &= \ln|x| \;+\; \Bigl(-\tfrac{1}{2}\ln Q + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\tfrac{2x-1}{\sqrt{3}}\Bigr) \;+\; \Bigl(\frac{x+1}{3Q} + \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\!\tfrac{2x-1}{\sqrt{3}}\Bigr) + C\\[6pt] &= \ln|x| - \tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}-x+1\bigr) + \frac{x+1}{3\bigl(x^{2}-x+1\bigr)} + \frac{5}{3\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\biggr) + C. \end{aligned}]

Resposta

\ln|x| - \tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}-x+1\bigr) + \frac{x+1}{3\bigl(x^{2}-x+1\bigr)} + \frac{5}{3\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\biggr) + C

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