Calcule as integrais das funções racionais abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A integranda é uma função racional (quociente de polinômios).
- O denominador fatoriza em um fator linear
e um fator quadrático irreducível (ele não tem raízes reais porque o discriminante ). - Como o denominador tem fator quadrático repetido (ao quadrado), a decomposição em frações parciais exigirá termos do tipo
, e .
O enunciado pede apenas o valor da integral indefinida (ou seja, a antiderivada).
Passo 2
Escolha do método: usaremos decomposição em frações parciais (método padrão para integrais de funções racionais). Depois de decompor, integramos termo a termo. Não há instrução especial no enunciado, então este é o caminho mais direto e prático em prova.
Vou escrever a decomposição geral e determinar as constantes por comparação de coeficientes.
Passo 3
Proponho a decomposição
Multiplico ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Passo 4
Vou expandir e agrupar termos por potências de
. Primeiro:
Multiplicando e somando os outros termos:
Somando tudo:
Passo 5
Comparo coeficientes com o polinômio constante
Como (A=1], substituo:
]
Passo 6
Portanto a decomposição fica (substituindo as constantes encontradas)
Vou integrar termo a termo:
Chamo esses integrais de
respectivamente.
Passo 7
Integro
imediatamente:
Para
e
note a notação conveniente: defina
Então
. Vou reescrever o numerador
em termos de
mais um resto constante:
procuro tais que
procuro
Comparando coeficientes: do termo em
:
. Do termo constante:
.
Logo
Logo
Passo 8
Agora
:
O primeiro termo é imediato:
Para o segundo termo usamos completamento de quadrado em
:
A integral padrão é
Aqui
e
. Assim
Multiplicando por
(do desenvolvimento acima) obtemos
Passo 9
Agora
. Usando a mesma escrita do numerador:
Para o primeiro termo fazemos a substituição
, então
e
Para o segundo termo precisamos calcular
onde, lembrando,
com
. Há uma fórmula padrão (que posso obter diferenciando a expressão dada abaixo; aqui uso-a e mostro a verificação rápida a seguir):
onde
é variável de integração e
. (Verificação rápida: derivando o RHS obtém-se exatamente
.)
Aplicando isso com
e
, temos
(Detalhe dos coeficientes:
e
, daí os números apresentados.)
Multiplicando por
(porque tínhamos
) obtemos
Somando agora com a contribuição
já obtida:
Os dois termos racionais somam-se:
Logo
Passo 10
Reunindo
obtemos a antiderivada completa: