Calcule as integrais das funções racionais abaixo.
\int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (integral indefinida) da função racional dada:
\int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é uma razão entre um polinômio de grau 1 no numerador e o quadrado de um polinômio de grau 2 no denominador.
  • Não há constantes nem parâmetros adicionais.
    O objetivo é encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x-1}{(x^2+2x+3)^2}.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: completar o quadrado no denominador para obter uma forma mais amigável. Calculo:
x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2.
Isso sugere a substituição translacional
t=x+1 \quad\Rightarrow\quad dt=dx.
Reescrevo o numerador em termos de t:
x-1=(t-1)-1=t-2.
Portanto a integral fica
\int \frac{x-1}{(x^{2}+2x+3)^{2}}\,dx=\int \frac{t-2}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt.

Passo 3

Divido a integral em duas partes para tratar separadamente:
\int \frac{t-2}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt=\int \frac{t}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt-2\int \frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt.
Explicação: linearidade da integral permite separar os termos; cada parte tem uma técnica apropriada.

Passo 4

Calculo da primeira parcela \displaystyle \int \frac{t}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt.
Faço a substituição v=t^{2}+2, então dv=2t\,dt ou t\,dt=\dfrac{dv}{2}. Assim
\int \frac{t}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt=\int \frac{1}{v^{2}}\cdot\frac{dv}{2}=\frac{1}{2}\int v^{-2}\,dv=\frac{1}{2}\left(-v^{-1}\right)+C=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^{2}+2}+C.
Portanto
\int \frac{t}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^{2}+2}+C.
Comentário didático: essa é uma aplicação direta da substituição v=t^2+2 porque o numerador contém t, que é proporcional a dv.

Passo 5

Agora a segunda parcela \displaystyle \int \frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt. Esta é uma integral padrão que costuma ser feita por substituição trigonométrica. Vou mostrar o procedimento completo.
Defino a=\sqrt{2}. Faço a substituição trigonométrica
t=a\tan\theta=\sqrt{2}\tan\theta,\qquad dt=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Então o denominador transforma-se em
t^{2}+2=a^{2}\tan^{2}\theta+a^{2}=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta=2\operatorname{sec}^{2}\theta.
Logo
(t^{2}+2)^{2}=4\operatorname{sec}^{4}\theta,
e o integrando vira
\frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt=\frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{4\operatorname{sec}^{4}\theta}=\frac{a}{4}\cos^{2}\theta\,d\theta.
Com a=\sqrt{2} obtemos
\int \frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt=\frac{\sqrt{2}}{4}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Uso a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}:
\frac{\sqrt{2}}{4}\int \cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{1}{2}\int (1+\cos 2\theta)\,d\theta=\frac{\sqrt{2}}{8}\left(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right)+C.
Agora volto para a variável t. Sabendo que \tan\theta=\dfrac{t}{\sqrt{2}}, tem-se \theta=\arctan\!\left(\dfrac{t}{\sqrt{2}}\right). Além disso:
\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta,\qquad \sin\theta=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+2}},\qquad \cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{t^{2}+2}}.
Assim
\sin 2\theta=2\cdot\frac{t}{\sqrt{t^{2}+2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{t^{2}+2}}=\frac{2\sqrt{2}\,t}{t^{2}+2}.
Substituindo em \dfrac{\sqrt{2}}{8}\left(\theta+\dfrac{1}{2}\sin 2\theta\right)
\int \frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt=\frac{\sqrt{2}}{8}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}\,t}{t^{2}+2}+C.
Simplificando o segundo termo numérico:
\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot\sqrt{2}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Portanto
\boxed{\displaystyle \int \frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt=\frac{1}{4}\cdot\frac{t}{t^{2}+2}+\frac{\sqrt{2}}{8}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)+C.}
Comentário: essa fórmula também pode ser lembrada em forma geral para \int \dfrac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 6

Volto à integral original usando os resultados das Passos 4 e 5:
\int \frac{t-2}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt = \underbrace{-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^{2}+2}}_{\text{da Parte 1}} -2\underbrace{\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{t}{t^{2}+2}+\frac{\sqrt{2}}{8}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right)}_{\text{da Parte 2}}+C.
Multiplico o -2 e simplifico os termos racionais:
-2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{t}{t^{2}+2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{t}{t^{2}+2}, \qquad -2\cdot\frac{\sqrt{2}}{8}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right).
Somando os dois termos racionais com denominador t^{2}+2:
-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^{2}+2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{t}{t^{2}+2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1+t}{t^{2}+2}.
Como t=x+1, tem 1+t=x+2 e t^{2}+2=(x+1)^{2}+2. Logo a primitiva em termos de x fica
\boxed{\displaystyle F(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{x+2}{(x+1)^{2}+2}-\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C.}

Passo 7

Breve verificação mental (dica para prova): derivando F(x) você recupera \dfrac{x-1}{(x^{2}+2x+3)^{2}}. Se tiver tempo na prova, derivar para checar é uma boa prática (usa regra do quociente + cadeia para o termo racional e regra da derivada de arctan).
Força aí — esse tipo de integral aparece com frequência: completar o quadrado, fazer uma tradução x\mapsto x+c, separar termos, usar substituição para o caso com t no numerador e trig-substituição para potências de (t^{2}+a^{2}).

Resposta

-\frac{1}{2}\cdot\frac{x+2}{(x+1)^{2}+2}-\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C

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