Explicação: linearidade da integral permite separar os termos; cada parte tem uma técnica apropriada.
Passo 4
Calculo da primeira parcela \displaystyle \int \frac{t}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt.
Faço a substituição v=t^{2}+2, então dv=2t\,dt ou t\,dt=\dfrac{dv}{2}. Assim
Comentário didático: essa é uma aplicação direta da substituição v=t^2+2 porque o numerador contém t, que é proporcional a dv.
Passo 5
Agora a segunda parcela \displaystyle \int \frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt. Esta é uma integral padrão que costuma ser feita por substituição trigonométrica. Vou mostrar o procedimento completo.
Defino a=\sqrt{2}. Faço a substituição trigonométrica
Comentário: essa fórmula também pode ser lembrada em forma geral para \int \dfrac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}.
Passo 6
Volto à integral original usando os resultados das Passos 4 e 5:
\int \frac{t-2}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt = \underbrace{-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^{2}+2}}_{\text{da Parte 1}} -2\underbrace{\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{t}{t^{2}+2}+\frac{\sqrt{2}}{8}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right)}_{\text{da Parte 2}}+C.
Breve verificação mental (dica para prova): derivando F(x) você recupera \dfrac{x-1}{(x^{2}+2x+3)^{2}}. Se tiver tempo na prova, derivar para checar é uma boa prática (usa regra do quociente + cadeia para o termo racional e regra da derivada de arctan).
Força aí — esse tipo de integral aparece com frequência: completar o quadrado, fazer uma tradução x\mapsto x+c, separar termos, usar substituição para o caso com t no numerador e trig-substituição para potências de (t^{2}+a^{2}).