Calcule as integrais de funções racionais por frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede
usando decomposição em frações parciais. Vamos quebrar a função racional em termos simples para integrar logaritmos e arctangente.
Passo 2
Assumimos a forma
Multiplicando pelos denominadores, obtemos
Passo 3
Expandindo o lado direito e igualando coeficientes:
Comparando com
dá o sistema
Resolvendo, achamos
Passo 4
Assim
No segundo integral escrevemos
e também completamos o quadrado
x^2+2x+2=(x+1)^2+1 . Logo
Passo 5
Integrando cada termo:
Reunindo tudo com o fator
1/5 , vem
Simplificando o coeficiente do logaritmo quadrático: