Calcule as integrais de funções racionais por frações parciais:
integral x^2-2 x-3(x-1)(x^2+2 x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede
I = integral x^2-2x-3(x-1)l(x^2+2x+2r),dx
usando decomposição em frações parciais. Vamos quebrar a função racional em termos simples para integrar logaritmos e arctangente.

Passo 2

Assumimos a forma
x^2-2x-3(x-1)(x^2+2x+2) =Ax-1+B,x+Cx^2+2x+2
Multiplicando pelos denominadores, obtemos
x^2-2x-3 = A,(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-1)

Passo 3

Expandindo o lado direito e igualando coeficientes:
A x^2+2A x+2A + Bx^2+(C-B)x - C =(A+B)x^2+(2A+C-B)x+(2A-C)
Comparando com x^2-2x-3 dá o sistema
A + B = 1, 2A + C - B = -2, 2A - C = -3
Resolvendo, achamos
A=-tfrac45, B=tfrac95, C=tfrac75

Passo 4

Assim
I =-45integraldxx-1 +15integral9x+7x^2+2x+2,dx
No segundo integral escrevemos
9x+7 =92,(2x+2);-;2,
e também completamos o quadrado x^2+2x+2=(x+1)^2+1. Logo
integral9x+7x^2+2x+2,dx =92integrald(x^2+2x+2)x^2+2x+2 -2integraldx(x+1)^2+1

Passo 5

Integrando cada termo:
-45integraldxx-1 =-45lnl|x-1r|,
92integrald(dots)dots =92lnl(x^2+2x+2r),
-2integraldx(x+1)^2+1 =-2arctan(x+1)
Reunindo tudo com o fator 1/5, vem
I =-45lnl|x-1r| +15l[92ln(x^2+2x+2)-2arctan(x+1)r]+C
Simplificando o coeficiente do logaritmo quadrático:
I =-45lnl|x-1r| +910ln(x^2+2x+2) -25arctan(x+1)+C

Resposta

boxed integral x^2-2x-3(x-1)(x^2+2x+2),dx =-45lnl|x-1r| +910ln(x^2+2x+2) -25arctan(x+1)+C

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