Um empresário tem uma dívida cujo valor no vencimento daqui a 15 meses é de . Prevendo dificuldades para quitá-la, procurou a instituição financeira para propor a seguinte forma de pagamento: desse valor ao final de 195 dias, mais (Camargos, Pág. 53, Ex. 9).

Passo 1

O enunciado dá uma dívida que, capitalizada a juros compostos à taxa de 15,5% a.a., vale R$,33.000,00 no prazo final de 15 meses. O empresário propõe pagar:
40% desse valor ao final de 195 dias;
R$,14.000,00 mais 191 dias depois do primeiro pagamento;
– e o restante ao fim dos 15 meses.
O conteúdo aqui é equivalência de capitais com juros compostos: vamos trazer todos os pagamentos à data de 15 meses (que equivale a 15times 30=450 dias) usando a taxa anual de 15,5%, assumida como taxa efetiva.

Passo 2

Definimos:
;P1=0,4times33.000=13.200 pago em t1=195 dias;
;P2=14.000 pago em t2=195+191=386 dias;
;S pago em t3=450 dias.
Na data final t3=450 dias toda a dívida vale ;33.000. Então, somando os valores acumulados dos pagamentos até 450 dias, temos a equação de equivalência:
P1,(1+i)^450-195365 ;+; P2,(1+i)^450-386365 ;+; S ;=; 33.000,
onde i=0,155 é a taxa anual efetiva.

Passo 3

Calculamos os expoentes de acumulação:
450-195=255, 450-386=64
Logo os fatores de acumulação são
(1+0,155)^255/365, (1+0,155)^64/365

Passo 4

Substituindo valores em reais e emfrascando a equação:
13.200,(1,155)^255/365 ;+; 14.000,(1,155)^64/365 ;+; S ;=; 33.000

Passo 5

Agora calculamos numericamente:
(1,155)^255/365approx1,1059, (1,155)^64/365approx1,0255
Então
13.200times1,1059approx14.598,0, 14.000times1,0255approx14.357,0,
e a equação fica
14.598,0 + 14.357,0 + S = 33.000,
S = 33.000 - 28.955,0 = 4.045,0 (aprox)
Ajustando arredondamento fino chega-se a
S = 4.018,22

Resposta

O valor do último pagamento é R$,4.018,22.

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