Calcule as integrais das funções Trigonométricas:
integral sec ^4 y d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec^4y,dy
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades e substituição, pois sabemos que ddytan y=sec^2 y.

Passo 2

Reescrevemos a integral como produto de fatores que facilitem a substituição:
integral sec^4y,dy = integral underbracesec^2yddytan y;underbracesec^2y,dydu

Passo 3

Fazendo a substituição
u = tan y, du = sec^2y,dy,
temos que
integral sec^4y,dy = integral sec^2y,du
Mas sec^2y=1+tan^2y=1+u^2, logo
integral sec^4y,dy = integral (1+u^2),du = u + u^33 + C

Passo 4

Voltando à variável y, substituímos u=tan y e obtemos
tan y + tan^3y3 + C

Resposta

tan y + tan^3y3 + C

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