Utilizando a técnica de substituição, calcule as integrais a seguir.
\int\left(\frac{x^{2}}{1+x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx
usando a técnica de substituição. O conteúdo é integração por substituição, aproveitando que a derivada de 1+x^{3} é proporcional a x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + x^{3}.
Diferenciando,
\frac{du}{dx} = 3x^{2} \quad\Longrightarrow\quad du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Em função de u, a integral fica
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\Bigl(\frac{1}{3}\,du\Bigr) = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Sabendo que
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert + C,
temos
\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{3}\ln\lvert u\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, com u = 1 + x^{3}, obtemos a antiderivada
\frac{1}{3}\ln\bigl\lvert 1 + x^{3}\bigr\rvert + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln\bigl\lvert 1 + x^{3}\bigr\rvert + C

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