Calcule as integrais de funções trigonométricas a seguir.
\int \sin ^{3}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{3}(2x)\,dx.
Este é um caso de integral de potência ímpar de seno com argumento composto. Vamos usar a identidade de redução de potência e depois uma substituição simples.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin^{3}(2x)=\sin(2x)\bigl(1-\cos^{2}(2x)\bigr).
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\int \sin^{3}(2x)\,dx =\int \sin(2x)\bigl(1-\cos^{2}(2x)\bigr)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos(2x), \quad du=-2\sin(2x)\,dx \;\Longrightarrow\; \sin(2x)\,dx=-\tfrac12\,du.

Passo 4

Reescrevendo a integral em u:
\int \sin(2x)\bigl(1-\cos^{2}(2x)\bigr)\,dx =\int (1-u^{2})\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) =-\tfrac12\int (1-u^{2})\,du.
Agora integramos polinomialmente:
-\tfrac12\int (1-u^{2})\,du =-\tfrac12\Bigl(u-\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr)+C =-\tfrac12\,u+\tfrac{1}{6}\,u^{3}+C.

Passo 5

Voltando a x com u=\cos(2x):
-\tfrac12\,\cos(2x)+\tfrac{1}{6}\cos^{3}(2x)+C.

Resposta

-\tfrac12\cos(2x)+\tfrac{1}{6}\cos^{3}(2x)+C.

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