Calcule as integrais das funções vetoriais a seguir
integral d t(t cos t i+t sin t j+3 t^4 k)

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função vetorial
vec F(t)=tcos t,vec i+tsin t,vec j+3t^4,vec k
com respeito a t. Para resolver isso, usamos que a integral de uma função vetorial se faz componente a componente. Nos termos que envolvem tcos t e tsin t aplicamos integração por partes, e no termo em t^4 usamos a regra de potência.

Passo 2

Integramos a componente em vec i:
Aplicando integral u,dv = u,v-integral v,du com u=t e dv=cos t,dt (logo du=dt e v=sin t), obtemos
integral tcos t,dt = tsin t - integral sin t,dt = tsin t + cos t

Passo 3

Integramos a componente em vec j:
De modo análogo, com u=t e dv=sin t,dt (logo v=-cos t), temos
integral tsin t,dt = -,tcos t - integral(-cos t),dt = -,tcos t + sin t

Passo 4

Integramos a componente em vec k aplicando a regra de potência:
integral 3t^4,dt = 3;t^55 = 3,t^55

Passo 5

Juntando todas as componentes e adicionando o vetor constante de integração vec C, a antiderivada vetorial é
integral vec F(t),dt = l(tsin t + cos tr),vec i + l(-tcos t + sin tr),vec j + 3,t^55,vec k + vec C

Resposta

integral l(tcos t,vec i + tsin t,vec j + 3t^4,vec kr),dt = (tsin t + cos t),vec i + (-tcos t + sin t),vec j + 3,t^55,vec k + vec C

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