Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=sen x, y=cos x, x=0 e x=pi / 2

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a área da região limitada pelas curvas ,y=sin x, ,y=cos x, e pelas retas verticais ,x=0 e ,x=pi/2. Para resolver, vamos:
  1. Marcar no plano as curvas de sin x e cos x em [0,pi/2].
  2. Identificar onde elas se cruzam.
  3. Calcular a área por integração da diferença das funções.

Passo 2

Encontramos o ponto de interseção resolvendo sin x=cos x em [0,pi/2].
sin x=cos x implica x=pi/4 e nesse ponto y=sin(pi/4)=cos(pi/4)=raiz2/2.

Passo 3

No intervalo 0<= x<=pi/4, tem-se cos x>=sin x. A área dessa parte é
A1=integral0^pi/4l(cos x-sin xr),dx
Calculando,
integral(cos x-sin x),dx=sin x+cos x,
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A1=l[sin x+cos xr]0^pi/4 =(tfracraiz22+tfracraiz22)-(0+1) =raiz2-1

Passo 4

No intervalo pi/4<= x<=pi/2, inverte-se a ordem e temos sin x>=cos x. A área dessa parte é
A2=integralpi/4^pi/2l(sin x-cos xr),dx
Como integral(sin x-cos x),dx=-cos x-sin x, vem
A2=l[-cos x-sin xr]pi/4^pi/2 =l(-0-1r)-l(-tfracraiz22-tfracraiz22r) =-1+raiz2 =raiz2-1

Passo 5

A área total é a soma das duas partes:
A=A1+A2=(raiz2-1)+(raiz2-1)=2(raiz2-1)

Resposta

A área da região é 2(raiz2-1) unidades de área.

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