Questão 3(2.5 pontos) Sabendo que
. Calcule via limite a integral definida
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular via definição de Riemann a integral
Isso significa usar
Precisamos particionar
em
subintervalos iguais, escolher pontos de amostragem
e usar as fórmulas dos somatórios
,
e
.
Passo 2
Vamos dividir
em
pedaços iguais. A largura de cada subintervalo é
Escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo:
Passo 3
A soma de Riemann fica
Expandindo o quadrado:
Passo 4
Agora usamos os somatórios conhecidos:
Logo
Passo 5
Multiplicando por
e simplificando cada termo:
Reagrupando,
então a soma é
Passo 6
Para obter a integral, fazemos
. Note que
e
Então o limite da soma de Riemann é
Passo 7
Concluímos que