Questão 3(2.5 pontos) Sabendo que integrala^b f(x) d x=lim n infty sumk=1^n f(wk) De<a x. Calcule via limite a integral definida integral1^3 x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular via definição de Riemann a integral
integral1^3 x^2,dx
Isso significa usar
integrala^bf(x),dx = limntoinftysumk=1^n f(wk),De<a x
Precisamos particionar [1,3] em n subintervalos iguais, escolher pontos de amostragem wk e usar as fórmulas dos somatórios
sumk=1^n1, sumk=1^nk e sumk=1^nk^2.

Passo 2

Vamos dividir [1,3] em n pedaços iguais. A largura de cada subintervalo é
De<a x = 3-1n = 2n
Escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo:
wk = 1 + k,De<a x = 1 + 2kn, k=1,2,dots,n

Passo 3

A soma de Riemann fica
sumk=1^n f(wk),De<a x = sumk=1^nl(wkr)^2,2n = 2nsumk=1^nl(1 + tfrac2knr)^2
Expandindo o quadrado:
l(1 + tfrac2knr)^2 = 1 + 4kn + 4k^2n^2

Passo 4

Agora usamos os somatórios conhecidos:
sumk=1^n1 = n, sumk=1^nk = n(n+1)2, sumk=1^nk^2 = n(n+1)(2n+1)6
Logo
sumk=1^nl(1 + tfrac4kn + tfrac4k^2n^2r) = n + 4n,n(n+1)2 + 4n^2,n(n+1)(2n+1)6

Passo 5

Multiplicando por 2n e simplificando cada termo:
2nl[n + 2(n+1) + 2(n+1)(2n+1)3nr] = 2 + 4(n+1)n + 4(n+1)(2n+1)3n^2
Reagrupando,
2 + 4(n+1)n = 2 + 4 + 4n = 6 + 4n,
então a soma é
6 + 4n + 4(n+1)(2n+1)3n^2

Passo 6

Para obter a integral, fazemos ntoinfty. Note que
4nto0 e
4(n+1)(2n+1)3n^2 =4(2n^2+3n+1)3n^2 to83
Então o limite da soma de Riemann é
6 + 83 = 18 + 83 = 263

Passo 7

Concluímos que
integral1^3 x^2,dx = 263

Resposta

263

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