Esboce as superfícies de nível indicadas:
f(x, y, z)=2 x+3 y+z-4, k=0

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície de nível k=0 da função de três variáveis
f(x,y,z)=2x+3y+z-4
Estamos em geometria de funções de várias variáveis: superfícies de nível são conjuntos (x,y,z)mid f(x,y,z)=k. No caso de f linear, cada nível é um plano em R^3.

Passo 2

Para obter a superfície de nível, igualamos f(x,y,z) a 0:
2x + 3y + z - 4 = 0
Note que o vetor gradiente
nabla f = (2,;3,;1)
é normal ao plano dado pela equação acima.

Passo 3

Para esboçar o plano, encontramos seus interceptos com os eixos coordenados:
  • Intercepto em x: pondo y=0, z=0 na equação, obtemos 2x-4=0, logo x=2. Ponto (2,0,0).
  • Intercepto em y: pondo x=0, z=0, vem 3y-4=0, logo y=tfrac43. Ponto l(0,tfrac43,0r).
  • Intercepto em z: pondo x=0, y=0, vem z-4=0, logo z=4. Ponto (0,0,4).

Passo 4

No sistema de coordenadas 3D, plote os três pontos (2,0,0), l(0,tfrac43,0r) e (0,0,4). Em seguida, una-os formando um triângulo. O plano que contém esse triângulo é exatamente a superfície de nível f(x,y,z)=0; ele é perpendicular ao vetor (2,3,1).

Resposta

A superfície de nível k=0 é o plano
2x + 3y + z - 4 = 0,
que intercepta os eixos em (2,0,0), l(0,tfrac43,0r) e (0,0,4). O esboço consiste em desenhar esses pontos e traçar o plano que os contém.

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