Calcule as integrais das funções vetoriais a seguir
integral0^pi4 d t(cos t i+sin 2 t j+cos ^2 t k)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi4l(cos t,i + sin2t,j + cos^2 t,kr),dt
Como é uma função vetorial, vamos integrar componente a componente. Para isso precisamos usar integrais básicas de funções trigonométricas e, no caso de cos^2 t, a identidade de ângulo duplo.

Passo 2

Para o componente i temos
integral0^pi4cos t,dt = sin t |0^pi4 = sin!pi4 - sin0 = raiz22

Passo 3

Para o componente j calculamos
integral0^pi4sin2t,dt = -cos2t2 |0^pi4 = -cos!pi22 + cos02 = 0 + 12 = 12

Passo 4

Para o componente k usamos cos^2 t = tfrac1+cos2t2, então
integral0^pi4cos^2 t,dt = integral0^pi41+cos2t2,dt = 12,t |0^pi4 + 14,sin2t |0^pi4 = pi8 + 14

Resposta

integral0^pi4l(cos t,i + sin2t,j + cos^2 t,kr),dt = raiz22,i + 12,j + l(pi8 + 14r),k

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