Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados.
y=e^x, x=0, y=pi; em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por y=e^x, x=0 e y=pi.
Conteúdo: método das cascas cilíndricas, em que usamos fatias paralelas ao eixo de rotação (aqui horizontais) para montar uma integral de volume.

Passo 2

Cada casca está a uma altura y, com raio r=y e espessura dy. A extensão horizontal dessa casca vai de x=0 até a curva y=e^x, isto é, até x=ln y. Logo, o comprimento da casca é ln y-0=ln y. Assim a integral do volume fica
V=integraly=1^pi2pi,( raio )(comprimento),dy =2piintegral1^piyln y,dy

Passo 3

Para calcular
integral yln y,dy
usamos integração por partes: seja u=ln y e dv=y,dy. Então
du=dyy, v=y^22
Isso dá
integral yln y,dy =y^22ln y -integraly^22cdot1y,dy =y^22ln y-12integral y,dy =y^22ln y-y^24+C

Passo 4

Substituindo na integral de volume e avaliando de 1 a pi:
V =2pil[y^22ln y-y^24r]1^pi =2pil(pi^22lnpi-pi^24 -l(0-tfrac14r)r)
Logo
V =2pil(pi^22lnpi-pi^24+14r) =pi^3lnpi-pi^32+pi2

Resposta

V=pi^3lnpi-pi^32+pi2

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