Exercício 16 Estude a integrabilidade das funções dadas.
f(x, y)=2 x^{2} y em B=\left\{(x, y): 1 \leq x \leq 2\right. e \left.x^{2} \leq y \leq x^{3}\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função e a região onde devemos estudar a integrabilidade:
  • Função: f(x,y)=2x^{2}y.
  • Região: B=\{(x,y): 1 \le x \le 2,\; x^{2}\le y \le x^{3}\}.
O que o exercício pede: verificar se f é integrável sobre B (ou seja, se faz sentido calcular \iint_{B} f(x,y)\,dA) e, se for integrável, calcular a integral dupla (ou mostrar como calculá-la).

Passo 2

Entender a forma da região B — propriedades úteis:
  • Para x em [1,2] vale x^{3}\ge x^{2} porque x\ge1. Portanto a região está bem definida (não é vazia) e é o conjunto de pontos entre as curvas y=x^{2} (inferior) e y=x^{3} (superior) para x variando de 1 a 2.
  • A região é limitada: 1\le x\le 2 e x^{2}\le y\le x^{3} implica 1\le y\le 8.
  • As curvas y=x^{2} e y=x^{3} são funções contínuas em [1,2]. Logo B é um conjunto fechado e limitado (fechado por estar limitado pelas imagens contínuas e pelos extremos) — em particular é compacto e é uma região do tipo “normal” em x (ou seja, para cada x as ordens de y são dadas por duas funções contínuas).
(Estas observações serão usadas para justificar a integrabilidade.)

Passo 3

Propriedades da função f:
  • f(x,y)=2x^{2}y é um polinômio em x e y. Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.
  • Portanto f é contínua em todo o plano e, em particular, contínua em B.
Agora uma propriedade teórica que vamos usar (explicada de forma simples): se uma função é contínua em um conjunto compacto e limitado (como B), então ela é limitada e Riemann-integrável nesse conjunto. Outra forma prática: funções contínuas em regiões fechadas e limitadas são integráveis e podemos aplicar integração iterada (teorema de Fubini) para calcular a integral.

Passo 4

Conclusão sobre integrabilidade:
  • Como B é compacto (fechado e limitado) e f é contínua em B, segue que f é Riemann-integrável em B. Também é Lebesgue-integrável, mas para a prova normalmente interessa a integrabilidade tipo Riemann/Darboux e a possibilidade de usar integrais iteradas.
Explicação rápida sobre integração iterada que vamos usar: para uma região do tipo x-simples como B, a integral dupla pode ser transformada em uma integral iterada na ordem
\iint_{B} f(x,y)\,dA = \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=x^{2}}^{x^{3}} f(x,y)\,dy\right)dx.
Isso é permitido porque f é contínua em B.

Passo 5

Montagem da integral iterada para calcular \iint_{B} f(x,y)\,dA:
\iint_{B} 2x^{2}y\,dA = \int_{1}^{2}\left(\int_{x^{2}}^{x^{3}} 2x^{2}y\,dy\right)dx.
Aqui a ideia é: para cada x fixo, y varia de x^{2} até x^{3}, então integramos em y primeiro mantendo x fixo.

Passo 6

Cálculo da integral interna (integração em y) passo a passo:
  • Integrando 2x^{2}y em relação a y, tratamos x como constante. A primitiva em y é 2x^{2}\cdot \dfrac{y^{2}}{2}=x^{2}y^{2}.
Portanto
\int_{x^{2}}^{x^{3}} 2x^{2}y\,dy = \Big[ x^{2}y^{2}\Big]_{y=x^{2}}^{y=x^{3}} = x^{2}\big( (x^{3})^{2} - (x^{2})^{2}\big).
  • Simplificando os expoentes:
(x^{3})^{2}=x^{6},\qquad (x^{2})^{2}=x^{4},
logo a expressão fica
x^{2}(x^{6}-x^{4}) = x^{8}-x^{6}.
Assim reduzimos a integral dupla a uma integral em x simples:
\iint_{B} 2x^{2}y\,dA = \int_{1}^{2} (x^{8}-x^{6})\,dx.

Passo 7

Cálculo da integral em x:
  • Antiderivada de x^{8} é \dfrac{x^{9}}{9}.
  • Antiderivada de x^{6} é \dfrac{x^{7}}{7}.
Logo
\int_{1}^{2} (x^{8}-x^{6})\,dx = \Big[\dfrac{x^{9}}{9}-\dfrac{x^{7}}{7}\Big]_{1}^{2}.
Avaliar nos extremos:
  • Em x=2: \dfrac{2^{9}}{9}-\dfrac{2^{7}}{7}=\dfrac{512}{9}-\dfrac{128}{7}.
  • Em x=1: \dfrac{1^{9}}{9}-\dfrac{1^{7}}{7}=\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{7}.
Subtraindo:
\left(\dfrac{512}{9}-\dfrac{128}{7}\right)-\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{7}\right) = \dfrac{511}{9}-\dfrac{127}{7}.
Colocando em denominador comum 63:
\dfrac{511}{9}-\dfrac{127}{7}=\dfrac{511\cdot7 -127\cdot9}{63}=\dfrac{3577-1143}{63}=\dfrac{2434}{63}.
Opcional: valor numérico aproximado \dfrac{2434}{63}\approx 38{,}633.

Resposta

A função f é integrável (Riemann) sobre B e
\iint_{B} 2x^{2}y\,dA = \dfrac{2434}{63}.

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