Exercício 16 Estude a integrabilidade das funções dadas.
em
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função e a região onde devemos estudar a integrabilidade:
- Função:
. - Região:
.
O que o exercício pede: verificar se
é integrável sobre
(ou seja, se faz sentido calcular
) e, se for integrável, calcular a integral dupla (ou mostrar como calculá-la).
Passo 2
Entender a forma da região
— propriedades úteis:
- Para
em vale porque . Portanto a região está bem definida (não é vazia) e é o conjunto de pontos entre as curvas (inferior) e (superior) para variando de a . - A região é limitada:
e implica . - As curvas
e são funções contínuas em . Logo é um conjunto fechado e limitado (fechado por estar limitado pelas imagens contínuas e pelos extremos) — em particular é compacto e é uma região do tipo “normal” em (ou seja, para cada as ordens de são dadas por duas funções contínuas).
(Estas observações serão usadas para justificar a integrabilidade.)
Passo 3
Propriedades da função
:
-
é um polinômio em e . Polinômios são funções contínuas em todo . - Portanto
é contínua em todo o plano e, em particular, contínua em .
Agora uma propriedade teórica que vamos usar (explicada de forma simples): se uma função é contínua em um conjunto compacto e limitado (como
), então ela é limitada e Riemann-integrável nesse conjunto. Outra forma prática: funções contínuas em regiões fechadas e limitadas são integráveis e podemos aplicar integração iterada (teorema de Fubini) para calcular a integral.
Passo 4
Conclusão sobre integrabilidade:
- Como
é compacto (fechado e limitado) e é contínua em , segue que é Riemann-integrável em . Também é Lebesgue-integrável, mas para a prova normalmente interessa a integrabilidade tipo Riemann/Darboux e a possibilidade de usar integrais iteradas.
Explicação rápida sobre integração iterada que vamos usar: para uma região do tipo
-simples como
, a integral dupla pode ser transformada em uma integral iterada na ordem
Isso é permitido porque
é contínua em
.
Passo 5
Montagem da integral iterada para calcular
:
Aqui a ideia é: para cada
fixo,
varia de
até
, então integramos em
primeiro mantendo
fixo.
Passo 6
Cálculo da integral interna (integração em
) passo a passo:
- Integrando
em relação a , tratamos como constante. A primitiva em é .
Portanto
- Simplificando os expoentes:
logo a expressão fica
Assim reduzimos a integral dupla a uma integral em
simples:
Passo 7
Cálculo da integral em
:
- Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é .
Logo
Avaliar nos extremos:
- Em
: . - Em
: .
Subtraindo:
Colocando em denominador comum
:
Opcional: valor numérico aproximado
.
Resposta
A função
é integrável (Riemann) sobre
e