Questão 1 (2.5 pontos):
Considere a equação diferencial
.
(a)Ache a solução geral da equação diferencial.
(b)Se
,então encontre
de modo a garantir que
.
Considere a equação diferencial
(a)Ache a solução geral da equação diferencial.
(b)Se
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
e pede: (a) a solução geral; (b) impondo
, encontrar
de modo que
. Vamos usar solução da homogênea pela equação característica e método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
e montamos a equação característica
Resolvendo,
logo
e
. Portanto
Passo 3
Para achar uma solução particular
tentamos o formato
pois o termo forçante é
. Calculamos
então, substituindo em
, vem
o que dá
, ou seja
Logo
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma
Passo 5
Impondo a condição inicial
temos
Para que
, o termo
não pode explodir, logo deve ter
. Então
. Calculamos agora
logo em
Resposta
(a)
(b) Para com
, deve-se ter
.
(b) Para