Questão 1 (2.5 pontos):
Considere a equação diferencial y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=2 e^{-2 t}
(a)Ache a solução geral da equação diferencial.
(b)Se y(0)=1 ,então encontre y^{\prime}(0) de modo a garantir que \lim _{t \rightarrow+\infty} y(t)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + y' - 6y = 2e^{-2t}
e pede: (a) a solução geral; (b) impondo y(0)=1, encontrar y'(0) de modo que \lim_{t\to+\infty}y(t)=0. Vamos usar solução da homogênea pela equação característica e método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y_h'' + y_h' - 6y_h = 0
e montamos a equação característica
r^2 + r - 6 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2},
logo r_1 = 2 e r_2 = -3. Portanto
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t}.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p tentamos o formato
y_p(t) = A e^{-2t},
pois o termo forçante é 2e^{-2t}. Calculamos
y_p' = -2A e^{-2t}, \quad y_p'' = 4A e^{-2t},
então, substituindo em y''+y'-6y, vem
(4A - 2A - 6A)e^{-2t} = -4A e^{-2t} \overset{!}{=} 2e^{-2t}
o que dá -4A = 2, ou seja
A = -\tfrac12.
Logo
y_p(t) = -\tfrac12 e^{-2t}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t} - \tfrac12 e^{-2t}.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=1 temos
y(0) = C_1 + C_2 - \tfrac12 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = \tfrac32.
Para que \lim_{t\to+\infty}y(t)=0, o termo C_1 e^{2t} não pode explodir, logo deve ter C_1=0. Então C_2=\tfrac32. Calculamos agora
y'(t) = 2C_1 e^{2t} - 3C_2 e^{-3t} + e^{-2t},
logo em t=0
y'(0) = 2C_1 - 3C_2 + 1 = 2\cdot0 - 3\cdot\tfrac32 + 1 = -\tfrac{9}{2} + 1 = -\tfrac{7}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t} - \tfrac12 e^{-2t}.
(b) Para \lim_{t\to+\infty}y(t)=0 com y(0)=1, deve-se ter y'(0) = -\tfrac{7}{2}.

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