Calcule as integrais
\int_{C} f(x, y) d s, onde f(x, y)=x e^{y} e C é o menor arco da circunferência centrada na origem, de raio 5 , que vai de (0,5) a (-5,0).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha de uma função escalar sobre um arco de circunferência. O conteúdo é integral de linha com elemento de comprimento d s. Precisamos:
  1. Parametrizar o arco da circunferência de raio 5 que vai de (0,5) a (-5,0).
  2. Expressar d s em termos do parâmetro.
  3. Substituir na integral e calcular.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de centro na origem e raio 5 por
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t)) = \bigl(5\cos t,\,5\sin t\bigr).
O ponto (0,5) corresponde a t=\tfrac{\pi}{2} e (-5,0) a t=\pi. Calculamos
\mathbf{r}'(t) = \bigl(-5\sin t,\,5\cos t\bigr), \quad \bigl\lvert \mathbf{r}'(t)\bigr\rvert = \sqrt{(-5\sin t)^2+(5\cos t)^2}=5.
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d s = \bigl\lvert \mathbf{r}'(t)\bigr\rvert\,dt = 5\,dt.

Passo 3

Em \mathbf{r}(t) temos x(t)=5\cos t e y(t)=5\sin t. Então a integral
\int_{C} x\,e^{y}\,d s
vira
\int_{t=\pi/2}^{\pi} \bigl[\,5\cos t\cdot e^{5\sin t}\bigr]\cdot 5\,dt =25\int_{\pi/2}^{\pi} \cos t\,e^{5\sin t}\,dt.

Passo 4

Fazemos a substituição
u = 5\sin t, \quad du = 5\cos t\,dt \;\Longrightarrow\; \cos t\,dt = \frac{du}{5}.
Quando t=\tfrac{\pi}{2} temos u=5, e quando t=\pi temos u=0. Assim
25\int_{\pi/2}^{\pi} \cos t\,e^{5\sin t}\,dt =25\int_{u=5}^{0} e^{u}\,\frac{du}{5} =5\int_{5}^{0} e^{u}\,du =-5\int_{0}^{5} e^{u}\,du.
Calculando,
-5\int_{0}^{5} e^{u}\,du =-5\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{5} =-5\bigl(e^{5}-1\bigr) =5\bigl(1-e^{5}\bigr).

Resposta

\int_{C} x\,e^{y}\,d s =5\bigl(1-e^{5}\bigr).

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