Q8: calcule as integrais
\iint_{R} y+x y^{-2} d A, R=\{(x, y) 0 \leq x \leq 1,-3 \leq y \leq 5\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\bigl(y + x\,y^{-2}\bigr)\,dA,
onde
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;-3 \le y \le 5\}.
O conteúdo envolve integrais duplas sobre regiões retangulares e análise de integrabilidade de funções que podem apresentar singularidade (aqui em y=0).

Passo 2

Escrevemos a integral como soma de duas parcelas:
\iint_{R}y\,dA \;+\;\iint_{R}x\,y^{-2}\,dA.
A primeira parcela é contínua em todo R. A segunda tem y^{-2}, que é singular em y=0. Como o intervalo de y vai de -3 a 5, passamos pelo ponto y=0, onde o integrando explode.

Passo 3

Calculamos a parte contínua:
\iint_{R}y\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=-3}^{5}y\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\Bigl[\tfrac{1}{2}y^{2}\Bigr]_{-3}^{5}dx =\int_{0}^{1}\bigl(\tfrac{1}{2}(25-9)\bigr)dx =\int_{0}^{1}8\,dx =8.

Passo 4

Analisamos agora
\iint_{R}x\,y^{-2}\,dA =\int_{x=0}^{1}x\,dx\;\int_{y=-3}^{5}y^{-2}\,dy.
O fator em x é \int_{0}^{1}x\,dx=1/2. Porém
\int_{y=-3}^{5}y^{-2}\,dy \;=\;\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\Bigl(\int_{-3}^{-\varepsilon}y^{-2}dy+\int_{\varepsilon}^{5}y^{-2}dy\Bigr)
cada termo \int y^{-2}dy=-1/y gera contribuição 1/\varepsilon quando \varepsilon\to0. Logo essa integral diverge.

Resposta

A integral \displaystyle\iint_{R}(y + x\,y^{-2})\,dA é imprópria divergente, isto é, não converge.

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