Q8: calcule as integrais
\int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \sqrt{s+t} d s d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\sqrt{s+t}\,ds\,dt.
O conteúdo é integração múltipla em um retângulo, que permite usar o Teorema de Fubini para integrar primeiro em s e depois em t. Também precisaremos da antiderivada de u^{1/2}.

Passo 2

Para t fixo, fazemos a mudança u = s+t, logo du = ds. Assim
\int \sqrt{s+t}\,ds = \int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{2}{3}(s+t)^{3/2}.

Passo 3

Avaliaremos essa antiderivada de s=1 até s=2:
\int_{1}^{2}\sqrt{s+t}\,ds = \frac{2}{3}\Bigl[(2+t)^{3/2} - (1+t)^{3/2}\Bigr].
Portanto a integral original vira
\frac{2}{3}\int_{0}^{1}\Bigl[(2+t)^{3/2} - (1+t)^{3/2}\Bigr]\,dt.

Passo 4

Agora integramos em t. Sabemos que
\int_{0}^{1}(a+t)^{3/2}\,dt = \frac{2}{5}\Bigl[(a+1)^{5/2} - a^{5/2}\Bigr].
Aplicando com a=2 e a=1 e incluindo o fator \tfrac{2}{3}, obtemos
\frac{2}{3}\Biggl\{\frac{2}{5}\bigl[(3)^{5/2}-(2)^{5/2}\bigr] - \frac{2}{5}\bigl[(2)^{5/2}-(1)^{5/2}\bigr]\Biggr\}.

Passo 5

Note que \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{4}{15}, (3)^{5/2}=9\sqrt{3}, (2)^{5/2}=4\sqrt{2} e (1)^{5/2}=1. Logo o resultado final é
\frac{4}{15}\bigl(9\sqrt{3}-8\sqrt{2}+1\bigr).

Resposta

\frac{4}{15}\bigl(9\sqrt{3}-8\sqrt{2}+1\bigr).

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