Calcule as integrais:
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
em que
é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências
e
.
O conteúdo envolvido é integração dupla usando coordenadas polares e o que precisamos é:
O conteúdo envolvido é integração dupla usando coordenadas polares e o que precisamos é:
- Fazer a mudança
, e usar o Jacobiano . - Determinar os limites:
vai de a e vai de a . - Calcular as integrais radial e angular.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e
Logo a integral vira
Passo 3
Como a região é um produto em
e
, separamos a integral em duas partes:
Passo 4
Calcular a parte angular:
Passo 5
Calcular a parte radial e combinar:
Multiplicando pelos
do ângulo, obtemos